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【例 2】选拔一名选手参加区中学生男子百米赛跑比赛，我校四名中学生参加了训练，他们成绩的平均数 $ \overline{x} $ 及其方差 $ s^2 $ 如表所示，要选拔一名成绩好且发挥稳定的学生，最合适的是(
A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【规律方法】
利用方差进行决策的一般思路
(1)若根据数据进行决策，需先根据平均数公式与方差公式，求出平均数和方差，再分别比较平均数和方差的大小，最后进行决策。
(2)若利用折线图进行决策，则直接观察折线的波动程度，波动小的方差就小，据此进行决策。
B
)A. 甲
B. 乙
C. 丙
D. 丁
【规律方法】
利用方差进行决策的一般思路
(1)若根据数据进行决策，需先根据平均数公式与方差公式，求出平均数和方差，再分别比较平均数和方差的大小，最后进行决策。
(2)若利用折线图进行决策，则直接观察折线的波动程度，波动小的方差就小，据此进行决策。
答案
【例 2】B
解析
【解析】
要选拔成绩好且发挥稳定的学生，需先比较平均数，平均数越小代表成绩越好：
由表格可知，乙和丙的平均数$10''21$最小，成绩更好；
再比较方差，方差越小代表发挥越稳定：
乙的方差$1.2$小于丙的方差$1.3$，所以乙的发挥更稳定。
综上，最合适的是乙。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义、方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差在实际问题中的应用，理解平均数反映成绩好坏，方差反映数据的稳定性是解题关键，需掌握利用平均数和方差进行决策的方法。
【难度系数】
0.7
要选拔成绩好且发挥稳定的学生，需先比较平均数，平均数越小代表成绩越好：
由表格可知，乙和丙的平均数$10''21$最小，成绩更好；
再比较方差，方差越小代表发挥越稳定：
乙的方差$1.2$小于丙的方差$1.3$，所以乙的发挥更稳定。
综上，最合适的是乙。
【答案】
B
【知识点】
平均数的意义、方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差在实际问题中的应用，理解平均数反映成绩好坏，方差反映数据的稳定性是解题关键，需掌握利用平均数和方差进行决策的方法。
【难度系数】
0.7
3. 甲、乙两人 10 次射击成绩的折线图如图所示，图中水平的直线表示平均数水平，甲、乙两人射击成绩数据的方差分别为 $ s_甲^2 $，$ s_乙^2 $，则 $ s_甲^2 $
甲 10 次射击成绩折线图
乙 10 次射击成绩折线图
$ ＜ $
$ s_乙^2 $。(填“$ ＞ $”“$ ＜ $”或“$ = $”)甲 10 次射击成绩折线图
乙 10 次射击成绩折线图
答案
3. $ ＜ $
解析
【解析】
方差用于衡量一组数据的波动大小，数据波动越小，方差越小。观察折线图可得，甲的射击成绩波动幅度小于乙的射击成绩波动幅度，因此$ s_甲^2 ＜ s_乙^2 $。
【答案】
$ ＜ $
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题借助折线图考查方差的实际应用，核心是理解方差与数据波动程度的关联：方差越小，数据越稳定。
【难度系数】
0.7
方差用于衡量一组数据的波动大小，数据波动越小，方差越小。观察折线图可得，甲的射击成绩波动幅度小于乙的射击成绩波动幅度，因此$ s_甲^2 ＜ s_乙^2 $。
【答案】
$ ＜ $
【知识点】
方差的意义
【点评】
本题借助折线图考查方差的实际应用，核心是理解方差与数据波动程度的关联：方差越小，数据越稳定。
【难度系数】
0.7
4. 某粽子加工厂为迎接端午节的到来，组织了员工包粽子比赛，规定所包粽子质量为 $ (160\pm3)g $ 时都符合标准，其中质量为 $ (160\pm1)g $ 的粽子为优秀产品。现从甲、乙两位员工所包粽子中各随机抽取 10 个进行检测，质量(单位：g)分别如下：
甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163。
乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163。
分析数据如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)$ a= $
(2)若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由。
甲：157，157，159，159，160，161，161，161，162，163。
乙：158，158，159，159，159，159，161，162，162，163。
分析数据如下表：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)$ a= $
161
，$ b= $159
，$ c= $3
。(2)若比赛规则的评判标准里看重所包粽子质量是否符合标准以及粽子质量的稳定性，根据抽样所得的粽子质量，你觉得哪位员工更加优秀？请说明理由。
答案
4. 解：(1) 161 159 3
(2) 乙更加优秀. 理由如下：
甲、乙两位员工所包粽子质量均符合标准且乙的方差小于甲的方差，粽子质量更加稳定，所以乙更加优秀.
(2) 乙更加优秀. 理由如下：
甲、乙两位员工所包粽子质量均符合标准且乙的方差小于甲的方差，粽子质量更加稳定，所以乙更加优秀.
解析
【解析】
(1) ①甲的数据中161出现的次数最多，故众数$a=161$；
②乙的数据排序后，第5、6个数据均为159，故中位数$b=\frac{159+159}{2}=159$；
③根据方差公式计算乙的方差：
$\begin{aligned}c&=\frac{1}{10}[(158-160)^2×2+(159-160)^2×4+(161-160)^2+(162-160)^2×2+(163-160)^2]\\&=\frac{1}{10}(8+4+1+8+9)\\&=3\end{aligned}$
(2) 先判断甲、乙所包粽子均符合标准，再根据方差的意义，方差越小数据越稳定，乙的方差小于甲的方差，故乙的粽子质量更稳定，所以乙更加优秀。
【答案】
(1) $\boldsymbol{161}$，$\boldsymbol{159}$，$\boldsymbol{3}$
(2) 乙更加优秀。理由：甲、乙两位员工所包粽子质量均符合标准，且乙的方差小于甲的方差，粽子质量更加稳定，所以乙更加优秀。
【知识点】
众数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需掌握众数、中位数、方差的定义及方差的意义，通过统计量分析数据的集中趋势与稳定性。
【难度系数】
0.7
(1) ①甲的数据中161出现的次数最多，故众数$a=161$；
②乙的数据排序后，第5、6个数据均为159，故中位数$b=\frac{159+159}{2}=159$；
③根据方差公式计算乙的方差：
$\begin{aligned}c&=\frac{1}{10}[(158-160)^2×2+(159-160)^2×4+(161-160)^2+(162-160)^2×2+(163-160)^2]\\&=\frac{1}{10}(8+4+1+8+9)\\&=3\end{aligned}$
(2) 先判断甲、乙所包粽子均符合标准，再根据方差的意义，方差越小数据越稳定，乙的方差小于甲的方差，故乙的粽子质量更稳定，所以乙更加优秀。
【答案】
(1) $\boldsymbol{161}$，$\boldsymbol{159}$，$\boldsymbol{3}$
(2) 乙更加优秀。理由：甲、乙两位员工所包粽子质量均符合标准，且乙的方差小于甲的方差，粽子质量更加稳定，所以乙更加优秀。
【知识点】
众数、中位数、方差
【点评】
本题考查统计量的实际应用，需掌握众数、中位数、方差的定义及方差的意义，通过统计量分析数据的集中趋势与稳定性。
【难度系数】
0.7
【例 3】九（1）班准备从甲、乙两名男生中选派一名参加学校组织的一分钟跳绳比赛，在相同的条件下，分别对两名男生进行了八次一分钟跳绳测试。现将测试结果绘制成如下不完整的统计图表。
请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）求 $ a $，$ b $ 的值。
（2）若九（1）班选一名成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁？请说明理由。
（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优。
解：
【规律方法】
综合利用统计量进行决策的方法
（1）在该类问题中，根据题目问题求出平均数、中位数、众数、方差；
（2）数据的集中趋势从平均数、众数、中位数的角度看，数据的波动从方差的角度看。
请根据统计图表中的信息解答下列问题：
（1）求 $ a $，$ b $ 的值。
（2）若九（1）班选一名成绩稳定的选手参赛，你认为应选谁？请说明理由。
（3）根据以上的数据分析，请你运用所学统计知识，任选两个角度评价甲、乙两名男生一分钟跳绳成绩谁优。
解：
【规律方法】
综合利用统计量进行决策的方法
（1）在该类问题中，根据题目问题求出平均数、中位数、众数、方差；
（2）数据的集中趋势从平均数、众数、中位数的角度看，数据的波动从方差的角度看。
答案
【例 3】解：(1) $ a = 177.5 $，$ b = 185 $.
(2) 应选乙. 理由如下：
乙的方差为 $ \frac { 1 } { 8 } × [ 2 × ( 175 - 175 ) ^ { 2 } + 2 × ( 180 - 175 ) ^ { 2 } + 2 × ( 170 - 175 ) ^ { 2 } + ( 185 - 175 ) ^ { 2 } + ( 165 - 175 ) ^ { 2 } ] = 37.5 $，乙的方差小于甲的方差.
所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应选乙.
(3) (答案不唯一，合理即可) ① 从平均数和方差相结合看，乙优.
② 从平均数和中位数相结合看，甲优.
(2) 应选乙. 理由如下：
乙的方差为 $ \frac { 1 } { 8 } × [ 2 × ( 175 - 175 ) ^ { 2 } + 2 × ( 180 - 175 ) ^ { 2 } + 2 × ( 170 - 175 ) ^ { 2 } + ( 185 - 175 ) ^ { 2 } + ( 165 - 175 ) ^ { 2 } ] = 37.5 $，乙的方差小于甲的方差.
所以乙的成绩比甲的成绩稳定，应选乙.
(3) (答案不唯一，合理即可) ① 从平均数和方差相结合看，乙优.
② 从平均数和中位数相结合看，甲优.
解析
【解析】
（1）将甲的八次成绩排序后，中间两个数据为175和180，故中位数$a=\frac{175+180}{2}=177.5$；乙的八次成绩中185出现的次数最多，故众数$b=185$。
（2）先计算乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{165+2×170+2×175+2×180+185}{8}=175$，再计算乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(165-175)^2+2×(170-175)^2+2×(175-175)^2+2×(180-175)^2+(185-175)^2]=37.5$。
已知甲的方差大于乙的方差，方差越小成绩越稳定，因此应选乙参赛。
（3）①从平均数和方差结合角度：甲、乙平均成绩相同，乙的方差更小，成绩更稳定，乙更优；
②从平均数和中位数结合角度：甲、乙平均成绩相同，甲的中位数177.5高于乙的中位数，甲的成绩中间水平更高，甲更优（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
（1）$a=177.5$，$b=185$；
（2）应选乙，理由：乙的方差小于甲的方差，成绩更稳定；
（3）示例：①从平均数和方差结合看，乙优；②从平均数和中位数结合看，甲优（合理即可）。
【知识点】
中位数与众数计算、方差的应用、统计量综合决策
【点评】
本题通过实际情境考查统计量的计算与应用，需熟练掌握中位数、众数、方差的求解方法，能从集中趋势和波动程度两个维度分析数据，提升数据分析与决策能力，是统计知识的典型综合应用题型。
【难度系数】
0.6
（1）将甲的八次成绩排序后，中间两个数据为175和180，故中位数$a=\frac{175+180}{2}=177.5$；乙的八次成绩中185出现的次数最多，故众数$b=185$。
（2）先计算乙的平均成绩：$\overline{x}_乙=\frac{165+2×170+2×175+2×180+185}{8}=175$，再计算乙的方差：
$s^2_乙=\frac{1}{8}×[(165-175)^2+2×(170-175)^2+2×(175-175)^2+2×(180-175)^2+(185-175)^2]=37.5$。
已知甲的方差大于乙的方差，方差越小成绩越稳定，因此应选乙参赛。
（3）①从平均数和方差结合角度：甲、乙平均成绩相同，乙的方差更小，成绩更稳定，乙更优；
②从平均数和中位数结合角度：甲、乙平均成绩相同，甲的中位数177.5高于乙的中位数，甲的成绩中间水平更高，甲更优（答案不唯一，合理即可）。
【答案】
（1）$a=177.5$，$b=185$；
（2）应选乙，理由：乙的方差小于甲的方差，成绩更稳定；
（3）示例：①从平均数和方差结合看，乙优；②从平均数和中位数结合看，甲优（合理即可）。
【知识点】
中位数与众数计算、方差的应用、统计量综合决策
【点评】
本题通过实际情境考查统计量的计算与应用，需熟练掌握中位数、众数、方差的求解方法，能从集中趋势和波动程度两个维度分析数据，提升数据分析与决策能力，是统计知识的典型综合应用题型。
【难度系数】
0.6
