例 1 如图，在$□ ABCD$中，$EF// AB$，$GH// AD$，图中有多少个平行四边形？

【思路导析】根据平行四边形的定义进行分析解答.
【请你解答】

9

在$□ABCD$中，$AB// CD$，$AD// BC$，且$EF// AB$，$GH// AD$，则$EF// CD$，$GH// BC$，形成横向平行线$AB$、$EF$、$CD$（3条）和纵向平行线$AD$、$GH$、$BC$（3条）。
平行四边形由横向两条平行线与纵向两条平行线围成，横向选2条平行线有$C_{3}^{2}=3$种，纵向选2条平行线有$C_{3}^{2}=3$种，故共有$3×3=9$个平行四边形。

例 2 如果平行四边形的周长为$120\mathrm{cm}$，相邻两边的长度之比为$5:7$，那么较长的边长为()

A.$35\mathrm{cm}$
B.$28\mathrm{cm}$
C.$42\mathrm{cm}$
D.$25\mathrm{cm}$
【思路导析】可设一边长为$x\mathrm{cm}$，则另一边长为$(60 - x)\mathrm{cm}$，依题意列方程求解.
【请你解答】.

A

设平行四边形相邻两边长分别为$5x\mathrm{cm}$和$7x\mathrm{cm$，根据平行四边形周长公式可得$2(5x + 7x)=120$，即$24x = 120$，解得$x = 5$。
那么较长边长为$7x=7×5 = 35\mathrm{cm}$。

例 3 如图，在平行四边形$ABCD$中，$CE⊥ AB$，垂足为$E$.如果$∠ A = 125^{\circ}$，则$∠ BCE=$()


A.$55^{\circ}$
B.$35^{\circ}$
C.$25^{\circ}$
D.$30^{\circ}$
【思路导析】$∠ ECD = ∠ BEC = 90^{\circ}$.
【请你解答】.

B

由于$ABCD$是平行四边形，根据平行四边形的性质，邻角互补，即$∠ A + ∠ B = 180°$，且$∠ A = 125°$，所以：
$∠ B = 180° - 125° = 55°$。
由于$CE ⊥ AB$，所以$∠ BEC = 90°$。
在三角形$BCE$中，内角和为$180°$，所以：
$∠ BCE = 180° - ∠ B - ∠ BEC = 180° - 55° - 90° = 35°$。

例 4 如图，$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，如果$AC = 14$，$BD = 8$，$AB = x$，那么$x$的取值范围是.

【探究点拨】利用平行四边形的对角线的性质求出$OA$，$OB$的长. 在$△ OAB$中，利用三角形的边的关系求$AB$的取值范围.
【规范解答】$\because AC = 14$，$BD = 8$，
$\therefore OA = 7$，$OB = 4$. (对角线互相平分)
在$△ AOB$中，
$\because OA - OB ＜ AB ＜ OA + OB$，
(两边之和大于第三边，两边之差小于第三边)
$\therefore 3 ＜ AB ＜ 11$，即$3 ＜ x ＜ 11$.

$3 ＜ x ＜ 11$（题目是填空题，这里无需填ABCD选项）

根据平行四边形的性质，平行四边形的对角线互相平分。
$\because AC = 14$，$BD = 8$，
$\therefore OA = \frac{1}{2}AC = 7$，$OB = \frac{1}{2}BD = 4$。
在$△ OAB$中，根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
即$OA - OB ＜ AB ＜ OA + OB$，
把$OA = 7$，$OB = 4$代入可得：$7 - 4 ＜ AB ＜ 7 + 4$，
即$3 ＜ AB ＜ 11$，
因为$AB = x$，所以$3 ＜ x ＜ 11$。