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5. 化简 $ (-\sqrt{3})^{2} - \sqrt{(-2)^{2}} + \sqrt{\frac{4}{9}} $ 的结果为.
答案
$\frac{5}{3}$
解析
根据二次根式的性质计算各项：
$(-\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$；
$\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$，故$-\sqrt{(-2)^{2}}=-2$；
$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$；
将各项结果相加：$3 - 2 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$。
$(-\sqrt{3})^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3$；
$\sqrt{(-2)^{2}}=\sqrt{4}=2$，故$-\sqrt{(-2)^{2}}=-2$；
$\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}$；
将各项结果相加：$3 - 2 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$。
6. 实数 $ a $，$ b $ 在数轴上的位置如图所示，则 $ \sqrt{(a + b)^{2}} + a $ 的化简结果是.
答案
$-b$
解析
根据数轴得$a＞0$，$b＜0$，且$|b|＞|a|$，故$a+b＜0$；由二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$，得$\sqrt{(a+b)^2}=|a+b|=-(a+b)$；代入原式化简：$-(a+b)+a=-a-b+a=-b$。
7. 计算.
(1) $ (\sqrt{2})^{2} $.
(2) $ (\sqrt{0})^{2} $.
(3) $ (-\sqrt{1.7})^{2} $.
(4) $ (2\sqrt{5})^{2} $.
(1) $ (\sqrt{2})^{2} $.
(2) $ (\sqrt{0})^{2} $.
(3) $ (-\sqrt{1.7})^{2} $.
(4) $ (2\sqrt{5})^{2} $.
答案
解：
(1) $ (\sqrt{2})^{2}=2 $；
(2) $ (\sqrt{0})^{2}=0 $；
(3) $ (-\sqrt{1.7})^{2}=(\sqrt{1.7})^{2}=1.7 $；
(4) $ (2\sqrt{5})^{2}=2^{2}×(\sqrt{5})^{2}=4×5=20 $。
(1) $ (\sqrt{2})^{2}=2 $；
(2) $ (\sqrt{0})^{2}=0 $；
(3) $ (-\sqrt{1.7})^{2}=(\sqrt{1.7})^{2}=1.7 $；
(4) $ (2\sqrt{5})^{2}=2^{2}×(\sqrt{5})^{2}=4×5=20 $。
8. 化简.
(1) $ \sqrt{( \frac{1}{2} )^{2}} $.
(2) $ \sqrt{4} $.
(3) $ \sqrt{(-3)^{2}} $.
(4) $ -\sqrt{(3 - π)^{2}} $.
(1) $ \sqrt{( \frac{1}{2} )^{2}} $.
(2) $ \sqrt{4} $.
(3) $ \sqrt{(-3)^{2}} $.
(4) $ -\sqrt{(3 - π)^{2}} $.
答案
解：
(1) $\sqrt{( \frac{1}{2} )^{2}} = \frac{1}{2}$
(2) $\sqrt{4} = \sqrt{2^2} = 2$
(3) $\sqrt{(-3)^{2}} = |-3| = 3$
(4) $-\sqrt{(3 - π)^{2}} = -|3 - π| = -(π - 3) = 3 - π$
(1) $\sqrt{( \frac{1}{2} )^{2}} = \frac{1}{2}$
(2) $\sqrt{4} = \sqrt{2^2} = 2$
(3) $\sqrt{(-3)^{2}} = |-3| = 3$
(4) $-\sqrt{(3 - π)^{2}} = -|3 - π| = -(π - 3) = 3 - π$
9. 若 $ (\sqrt{a})^{2} = 3 $，$ \sqrt{(b - 1)^{2}} = 2 $，则 $ \sqrt{(a - b)^{2}} $ 的值为.
答案
0或4
解析
1. 根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），由$(\sqrt{a})^2=3$得$a=3$；
2. 根据$\sqrt{x^2}=|x|$，由$\sqrt{(b-1)^2}=2$得$|b-1|=2$，解得$b=3$或$b=-1$；
3. 因为$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$，分情况计算：
当$b=3$时，$|3-3|=0$；
当$b=-1$时，$|3-(-1)|=4$；
综上，$\sqrt{(a-b)^2}$的值为0或4。
2. 根据$\sqrt{x^2}=|x|$，由$\sqrt{(b-1)^2}=2$得$|b-1|=2$，解得$b=3$或$b=-1$；
3. 因为$\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$，分情况计算：
当$b=3$时，$|3-3|=0$；
当$b=-1$时，$|3-(-1)|=4$；
综上，$\sqrt{(a-b)^2}$的值为0或4。
10. 已知实数 $ x $，$ y $ 满足 $ y ＜ \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 1 $，化简 $ \frac{\sqrt{(y + 1)^{2}}}{3 + 3y} $.
答案
解：
由二次根式有意义的条件得：
$\begin{cases}x - 2 ≥ 0 \\2 - x ≥ 0\end{cases}$
解得$x = 2$。
将$x = 2$代入$y ＜ \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 1$，得：
$y ＜ \sqrt{2 - 2} + \sqrt{2 - 2} - 1$，即$y ＜ -1$。
所以$y + 1 ＜ 0$，则$\sqrt{(y + 1)^2} = |y + 1| = -(y + 1)$，
$3 + 3y = 3(y + 1)$。
因此$\frac{\sqrt{(y + 1)^2}}{3 + 3y} = \frac{-(y + 1)}{3(y + 1)} = -\frac{1}{3}$。
由二次根式有意义的条件得：
$\begin{cases}x - 2 ≥ 0 \\2 - x ≥ 0\end{cases}$
解得$x = 2$。
将$x = 2$代入$y ＜ \sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} - 1$，得：
$y ＜ \sqrt{2 - 2} + \sqrt{2 - 2} - 1$，即$y ＜ -1$。
所以$y + 1 ＜ 0$，则$\sqrt{(y + 1)^2} = |y + 1| = -(y + 1)$，
$3 + 3y = 3(y + 1)$。
因此$\frac{\sqrt{(y + 1)^2}}{3 + 3y} = \frac{-(y + 1)}{3(y + 1)} = -\frac{1}{3}$。
11. 已知 $ 2\sqrt{a} + 3\sqrt{b} = 1 $，$ S = 2\sqrt{a} - \sqrt{b} $.
(1) 求 $ S $ 的取值范围.
(2) 化简 $ \sqrt{(2S + 1)^{2}} - \sqrt{(S - 1)^{2}} + \sqrt{(3S - 4)^{2}} $.
(1) 求 $ S $ 的取值范围.
(2) 化简 $ \sqrt{(2S + 1)^{2}} - \sqrt{(S - 1)^{2}} + \sqrt{(3S - 4)^{2}} $.
答案
解：
(1) 联立方程组：
$\begin{cases}2\sqrt{a} + 3\sqrt{b} = 1 \\ S = 2\sqrt{a} - \sqrt{b}\end{cases}$
由第一个方程减第二个方程得：$4\sqrt{b} = 1 - S$，即$\sqrt{b} = \frac{1 - S}{4}$。
因为$\sqrt{b} ≥ 0$，所以$\frac{1 - S}{4} ≥ 0$，解得$S ≤ 1$。
由第二个方程得：$2\sqrt{a} = S + \sqrt{b}$，将$\sqrt{b} = \frac{1 - S}{4}$代入得：
$2\sqrt{a} = S + \frac{1 - S}{4} = \frac{3S + 1}{4}$，即$\sqrt{a} = \frac{3S + 1}{8}$。
因为$\sqrt{a} ≥ 0$，所以$\frac{3S + 1}{8} ≥ 0$，解得$S ≥ -\frac{1}{3}$。
综上，$S$的取值范围是$-\frac{1}{3} ≤ S ≤ 1$。
(2) 由$-\frac{1}{3} ≤ S ≤ 1$，得：
$2S + 1 ≥ 0$，$S - 1 ≤ 0$，$3S - 4 ≤ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2} = |x|$，原式化简为：
$\begin{aligned}&|2S + 1| - |S - 1| + |3S - 4| \\=&(2S + 1) - (1 - S) + (4 - 3S) \\=&2S + 1 - 1 + S + 4 - 3S \\=&4\end{aligned}$
(1) 联立方程组：
$\begin{cases}2\sqrt{a} + 3\sqrt{b} = 1 \\ S = 2\sqrt{a} - \sqrt{b}\end{cases}$
由第一个方程减第二个方程得：$4\sqrt{b} = 1 - S$，即$\sqrt{b} = \frac{1 - S}{4}$。
因为$\sqrt{b} ≥ 0$，所以$\frac{1 - S}{4} ≥ 0$，解得$S ≤ 1$。
由第二个方程得：$2\sqrt{a} = S + \sqrt{b}$，将$\sqrt{b} = \frac{1 - S}{4}$代入得：
$2\sqrt{a} = S + \frac{1 - S}{4} = \frac{3S + 1}{4}$，即$\sqrt{a} = \frac{3S + 1}{8}$。
因为$\sqrt{a} ≥ 0$，所以$\frac{3S + 1}{8} ≥ 0$，解得$S ≥ -\frac{1}{3}$。
综上，$S$的取值范围是$-\frac{1}{3} ≤ S ≤ 1$。
(2) 由$-\frac{1}{3} ≤ S ≤ 1$，得：
$2S + 1 ≥ 0$，$S - 1 ≤ 0$，$3S - 4 ≤ 0$。
根据二次根式的性质$\sqrt{x^2} = |x|$，原式化简为：
$\begin{aligned}&|2S + 1| - |S - 1| + |3S - 4| \\=&(2S + 1) - (1 - S) + (4 - 3S) \\=&2S + 1 - 1 + S + 4 - 3S \\=&4\end{aligned}$
