2. 如图，$ ∠ BCA = 90° $，$ AC = 12 $，$ BC = 5 $，$ AN = AC $，$ BM = BC $，则 $ AB $ 及 $ MN $ 的长分别是().

A.$ 13 $，$ 2 $
B.$ 13 $，$ 3 $
C.$ 13 $，$ 4 $
D.$ 13 $，$ 5 $

C

1. 求AB的长：在$Rt△ ABC$中，$∠ BCA=90°$，$AC=12$，$BC=5$，根据勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13$。
2. 求MN的长：
因为$AN=AC=12$，所以$BN=AB-AN=13-12=1$；
因为$BM=BC=5$，所以$AM=AB-BM=13-5=8$；
则$MN=AB-AM-BN=13-8-1=4$。

3. 如图，在 $ 4 × 1 $ 网格中每个正方形边长为 $ 1 $，表示 $ \sqrt{5} $ 长的线段是().

A.$ OA $
B.$ OB $
C.$ OC $
D.$ OD $

B

根据勾股定理，计算各线段长度：
$OA=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，
$OB=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，
$OC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$，
$OD=\sqrt{4^2+1^2}=\sqrt{17}$，
故长度为$\sqrt{5}$的线段是OB。

4. 一个等腰三角形的顶角为 $ 120° $，腰长为 $ 6 \mathrm{ cm} $，则它的面积是 $ \mathrm{cm}^{2} $.

$9\sqrt{3}$

过等腰三角形顶角的顶点作底边的垂线，根据等腰三角形三线合一，将原三角形分成两个含30°角的直角三角形。已知腰长为6cm，30°角所对的直角边（即三角形的高）为3cm；由勾股定理可求得底边的一半长为$\sqrt{6^2 - 3^2}=3\sqrt{3}$cm，故底边长为$6\sqrt{3}$cm。因此三角形面积为$\frac{1}{2} × 6\sqrt{3} × 3 = 9\sqrt{3}$ $\mathrm{cm}^2$。

5. 小东与哥哥同时从家里出发，小东以 $ 6 \mathrm{ km/h} $ 的速度向正北方向的学校走去，哥哥则以 $ 8 \mathrm{ km/h} $ 的速度向正东方向的学校走去. 半小时以后，小东距离哥哥 $ \mathrm{km} $.

5

先计算半小时后两人的行走路程：小东走的路程为 $6 × 0.5 = 3 \, \mathrm{km}$，哥哥走的路程为 $8 × 0.5 = 4 \, \mathrm{km}$。因正北与正东方向垂直，两人位置和家构成直角三角形，根据勾股定理，两人的距离为 $\sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5 \, \mathrm{km}$。

6. 如图是边长为 $ 1 $ 的 $ 3 × 3 $ 的正方形网格，已知 $ △ ABC $ 的三个顶点均在正方形格点上，则 $ BC $ 边上的高是 .

$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{10}}{2}}$

1. 利用勾股定理计算边长：
$AB=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^2+1^2}=\sqrt{5}$，$BC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$；
2. 由勾股定理逆定理：$AB^2+AC^2=(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=10=(\sqrt{10})^2=BC^2$，故$△ ABC$是直角三角形，$∠ A=90°$；
3. 计算$△ ABC$的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × AB × AC=\frac{1}{2} × \sqrt{5} × \sqrt{5}=\frac{5}{2}$；
4. 设$BC$边上的高为$h$，根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × h$，代入得$\frac{1}{2} × \sqrt{10} × h=\frac{5}{2}$，解得$h=\frac{\sqrt{10}}{2}$。

7. 如图，四边形 $ OEBC $ 为正方形.
(1) 图中点 $ A $ 所表示的数是 .
(2) 在数轴上画出表示 $ \sqrt{3} $ 的点. (保留作图痕迹)

(1) $\boldsymbol{\sqrt{2}}$
(2) 作图痕迹如上述步骤所示

(1) 四边形$OEBC$是正方形，故$OE=EB=1$，$∠ OEB=90°$。由勾股定理得$OB=\sqrt{OE^2+EB^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，因$OA=OB$，所以点$A$表示的数为$\sqrt{2}$。
(2) 作图步骤：
① 取数轴上表示$1$的点$E$，过$E$作数轴的垂线，截取$EF=1$，连接$OF$；
② 过$F$作$OF$的垂线，截取$FG=1$，连接$OG$；
③ 以$O$为圆心，$OG$长为半径画弧，交数轴正半轴于点$M$，点$M$即为表示$\sqrt{3}$的点。

8. 如图，一只瓢虫在地图上从点 $ A $ 先向南爬 $ 7 \mathrm{ cm} $，又向东爬 $ 4 \mathrm{ cm} $，再向北爬 $ 2 \mathrm{ cm} $，又向东爬 $ 4 \mathrm{ cm} $，再向南爬 $ 1 \mathrm{ cm} $ 到点 $ B $，求该瓢虫从点 $ A $ 直接爬到点 $ B $ 的距离.

解：
过点$ B $作$ BC ⊥ $过点$ A $的水平直线，垂足为$ C $。
由题意可得：
水平方向：$ AC = 4 + 4 = 8(\mathrm{cm}) $，
垂直方向：$ BC = 7 - 2 - 1 = 4(\mathrm{cm}) $。
在$ \mathrm{Rt}△ ABC $中，根据勾股定理：
$ AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{8^2 + 4^2} = \sqrt{64 + 16} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5}(\mathrm{cm}) $。
答：该瓢虫从点$ A $直接爬到点$ B $的距离为$ 4\sqrt{5}\ \mathrm{cm} $。