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1. 设 $ m $，$ n $ 是一元二次方程 $ x^{2}+3x - 2 = 0 $ 的两个根，则 $ mn $ 的值是(
A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ -1 $
D.$ 1 $
A
)。A.$ -2 $
B.$ 2 $
C.$ -1 $
D.$ 1 $
答案
1. A
解析
对于一元二次方程$x^{2}+3x - 2 = 0$，其中$a = 1$，$b = 3$，$c=-2$。
因为$m$，$n$是该方程的两个根，根据韦达定理，两根之积$mn=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$。
A
因为$m$，$n$是该方程的两个根，根据韦达定理，两根之积$mn=\frac{c}{a}=\frac{-2}{1}=-2$。
A
2. 设 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 是一元二次方程 $ 2x^{2}+6x - 1 = 0 $ 的两个根，则 $ x_{1}+x_{2} $ 的值是(
A.$ -6 $
B.$ -3 $
C.$ 3 $
D.$ 6 $
B
)。A.$ -6 $
B.$ -3 $
C.$ 3 $
D.$ 6 $
答案
2. B
解析
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a≠0$），两根之和为$-\frac{b}{a}$。
在方程$2x^{2}+6x - 1 = 0$中，$a = 2$，$b = 6$，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{6}{2}=-3$。
B
在方程$2x^{2}+6x - 1 = 0$中，$a = 2$，$b = 6$，所以$x_{1}+x_{2}=-\frac{6}{2}=-3$。
B
3. 设 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 是方程 $ 3x^{2}-3x = 1 $ 的两个根，则 $ x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}= $
$\dfrac{2}{3}$
。答案
3. $\dfrac{2}{3}$
解析
解：方程化为一般式为$3x^{2}-3x - 1=0$，
$\because x_{1}$，$x_{2}$是方程的两个根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\dfrac{-3}{3}=1$，$x_{1}x_{2}=\dfrac{-1}{3}=-\dfrac{1}{3}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=1+(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}$。
$\dfrac{2}{3}$
$\because x_{1}$，$x_{2}$是方程的两个根，
$\therefore x_{1}+x_{2}=-\dfrac{-3}{3}=1$，$x_{1}x_{2}=\dfrac{-1}{3}=-\dfrac{1}{3}$，
$\therefore x_{1}+x_{2}+x_{1}x_{2}=1+(-\dfrac{1}{3})=\dfrac{2}{3}$。
$\dfrac{2}{3}$
4. 设 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 是方程 $ 2x^{2}+6x - 1 = 0 $ 的两个根，求下列代数式的值。
（1）$ (1 + x_{1})(1 + x_{2}) $；
（2）$ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $；
（3）$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $。
（1）$ (1 + x_{1})(1 + x_{2}) $；
（2）$ \frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}} $；
（3）$ x_{1}^{2}+x_{2}^{2} $。
答案
4. (1) $-\dfrac{5}{2}$ (2) 6 (3) 10
解析
解：由韦达定理得，$x_{1}+x_{2}=-\dfrac{6}{2}=-3$，$x_{1}x_{2}=\dfrac{-1}{2}=-\dfrac{1}{2}$。
（1）$(1 + x_{1})(1 + x_{2})=1+(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=1+(-3)+(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{5}{2}$
（2）$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{-3}{-\dfrac{1}{2}}=6$
（3）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(-3)^{2}-2×(-\dfrac{1}{2})=9 + 1=10$
（1）$(1 + x_{1})(1 + x_{2})=1+(x_{1}+x_{2})+x_{1}x_{2}=1+(-3)+(-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{5}{2}$
（2）$\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}=\dfrac{x_{1}+x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\dfrac{-3}{-\dfrac{1}{2}}=6$
（3）$x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=(-3)^{2}-2×(-\dfrac{1}{2})=9 + 1=10$
5. 已知关于 $ x $ 的方程 $ 2x^{2}-9x + k = 0 $ 的一个根为 $ 4 $，求它的另一个根及 $ k $ 的值。
答案
5. 方程的另一个根是$\dfrac{1}{2}$，k的值是4。
解析
设方程的另一个根为$x_1$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和为$-\dfrac{b}{a}$，两根之积为$\dfrac{c}{a}$。
在方程$2x^2 - 9x + k = 0$中，$a = 2$，$b = -9$，已知一个根为$4$，则：
$4 + x_1 = \dfrac{9}{2}$，解得$x_1 = \dfrac{9}{2} - 4 = \dfrac{1}{2}$。
两根之积为$4 × x_1 = \dfrac{k}{2}$，即$4 × \dfrac{1}{2} = \dfrac{k}{2}$，解得$k = 4$。
方程的另一个根是$\dfrac{1}{2}$，$k$的值是$4$。
对于一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$，两根之和为$-\dfrac{b}{a}$，两根之积为$\dfrac{c}{a}$。
在方程$2x^2 - 9x + k = 0$中，$a = 2$，$b = -9$，已知一个根为$4$，则：
$4 + x_1 = \dfrac{9}{2}$，解得$x_1 = \dfrac{9}{2} - 4 = \dfrac{1}{2}$。
两根之积为$4 × x_1 = \dfrac{k}{2}$，即$4 × \dfrac{1}{2} = \dfrac{k}{2}$，解得$k = 4$。
方程的另一个根是$\dfrac{1}{2}$，$k$的值是$4$。
6. 设 $ x_{1} $，$ x_{2} $ 是方程 $ x^{2}-6x + m = 0 $ 的两个根，且 $ x_{2}=2x_{1} $，求常数 $ m $ 的值。
答案
6. 由$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{2}=2x_{1}$，得$x_{1}=2$，$x_{2}=4$，从而得$m=8$。
解析
解：由韦达定理得$x_{1}+x_{2}=6$，$x_{1}x_{2}=m$。
因为$x_{2}=2x_{1}$，所以$x_{1}+2x_{1}=6$，解得$x_{1}=2$，则$x_{2}=2x_{1}=4$。
所以$m=x_{1}x_{2}=2×4=8$。
故$m=8$。
因为$x_{2}=2x_{1}$，所以$x_{1}+2x_{1}=6$，解得$x_{1}=2$，则$x_{2}=2x_{1}=4$。
所以$m=x_{1}x_{2}=2×4=8$。
故$m=8$。
