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1. 水中涟漪(圆形水波)不断扩大，记它的半径为$r$，则圆周长$C$与$r$的关系式为$C = 2π r$。下列判断正确的是()
A.$2$是变量
B.$π$是变量
C.$r$是变量
D.$C$是常量
A.$2$是变量
B.$π$是变量
C.$r$是变量
D.$C$是常量
答案
C
解析
根据题意，圆周长$C$与半径$r$的关系为$C=2π r$，其中$2$和$π$均为固定不变的数，即常量，$C$随$r$的变化而变化，因此$C$和$r$为变量，在$C$和$r$中，$r$是自变量，$C$是因变量。题目要求判断正确的选项，分析各个选项可知只有$r$是变量这一说法正确。
2. 下列关于$y$与$x$的关系式中，$y$是$x$的函数的是()
A.$y = x^{2}$
B.$y=\pm x$
C.$|y| = x + 1$
D.$y^{2}=x$
A.$y = x^{2}$
B.$y=\pm x$
C.$|y| = x + 1$
D.$y^{2}=x$
答案
A
解析
根据函数的定义，对于自变量$x$的每一个确定的值，因变量$y$都有唯一确定的值与其对应。
选项A：$y = x^{2}$，对于$x$取任意一个值，$y$都有唯一确定的值与之对应，所以$y$是$x$的函数。
选项B：$y=\pm x$，当$x$取一个非零值时，$y$有两个值与之对应，不满足函数定义中$y$的唯一性，所以$y$不是$x$的函数。
选项C：$\vert y\vert = x + 1$，当$x$取一个大于$-1$的值时，$y$有两个值与之对应，不满足函数定义中$y$的唯一性，所以$y$不是$x$的函数。
选项D：$y^{2}=x$，当$x$取一个正数时，$y$有两个值与之对应，不满足函数定义中$y$的唯一性，所以$y$不是$x$的函数。
选项A：$y = x^{2}$，对于$x$取任意一个值，$y$都有唯一确定的值与之对应，所以$y$是$x$的函数。
选项B：$y=\pm x$，当$x$取一个非零值时，$y$有两个值与之对应，不满足函数定义中$y$的唯一性，所以$y$不是$x$的函数。
选项C：$\vert y\vert = x + 1$，当$x$取一个大于$-1$的值时，$y$有两个值与之对应，不满足函数定义中$y$的唯一性，所以$y$不是$x$的函数。
选项D：$y^{2}=x$，当$x$取一个正数时，$y$有两个值与之对应，不满足函数定义中$y$的唯一性，所以$y$不是$x$的函数。
3. $2025$年$4$月$23$日为第$30$个世界读书日，各地纷纷开展了内容丰富、形式多样、主题鲜明的读书活动。某书店积极响应号召，为鼓励大家租借图书，增加阅读量，将收费标准下调为：每本书在租赁后的前三天按每天$0.6$元收费，三天后按每天$0.8$元收费(不足一天按一天计算)，则租金$y$(元)和租赁天数$x$($x≥3$)之间的关系式为()
A.$y = 0.6x$
B.$y = 0.8x$
C.$y = 0.8x - 0.6$
D.$y = 0.8x - 4$
A.$y = 0.6x$
B.$y = 0.8x$
C.$y = 0.8x - 0.6$
D.$y = 0.8x - 4$
答案
C
解析
根据题意，前三天每天收费$0.6$元，则前三天的总费用为$0.6 × 3 = 1.8$（元），
三天后每天收费$0.8$元，则三天后的费用为$0.8(x - 3)$，
所以，总费用$y$与租赁天数$x$之间的关系式为：
$y = 1.8 + 0.8(x - 3)$
$y = 1.8 + 0.8x - 2.4$
$y = 0.8x - 0.6$
三天后每天收费$0.8$元，则三天后的费用为$0.8(x - 3)$，
所以，总费用$y$与租赁天数$x$之间的关系式为：
$y = 1.8 + 0.8(x - 3)$
$y = 1.8 + 0.8x - 2.4$
$y = 0.8x - 0.6$
4. 使函数$y=\frac{x}{x - 1}$有意义的自变量$x$的取值范围是()
A.$x≠1$且$x≠0$
B.$x≠1$
C.$x＞1$
D.$x＜1$
A.$x≠1$且$x≠0$
B.$x≠1$
C.$x＞1$
D.$x＜1$
答案
B
解析
要使函数$y=\frac{x}{x - 1}$有意义，分母$x-1$不能等于$0$，即$x-1 ≠ 0$，解得$x ≠ 1$。
5. 如图，用一根长$8$cm的铁丝围成一个长方形，小北发现矩形的邻边$a$、$b$及面积$S$是三个变量，下面有三个说法：①$b$是$a$的函数；②$S$是$a$的函数；③$a$是$S$的函数。其中所有正确的结论的序号是()
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
A.①②
B.①③
C.②③
D.①②③
答案
A
解析
因为铁丝长8cm，所以长方形周长为8cm，即2(a+b)=8，得b=4-a。对于①，给定a一个值，b有唯一值对应，所以b是a的函数；对于②，S=ab=a(4-a)，给定a一个值，S有唯一值对应，所以S是a的函数；对于③，由S=a(4-a)得a²-4a+S=0，一个S可能对应两个a值（如S=3时，a=1或3），所以a不是S的函数。综上，正确的是①②。
6. 购买单价为$3$元的笔记本，总金额$y$(元)与笔记本数$x$(本)的关系为$y = 3x$，其中是常量，是变量。
答案
$3$；$x$，$y$
解析
在一个变化过程中，数值不发生变化的量称为常量，数值发生变化的量称为变量。在关系式$y = 3x$中，笔记本的单价$3$元始终保持不变，所以$3$是常量；而总金额$y$会随着笔记本数$x$的变化而变化，所以$x$和$y$是变量。
7. 中国古代有很多极为精巧的发明，榫卯结构就是其一，它是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式。如图，已知一个木构件的长度为$6$，其凸出部分的长度为$1$，若$x$个相同的木构件紧密拼成一列时，其总长度为$y$，则$y$关于$x$的关系式可以表示为。
答案
$y = 5x + 1$
解析
当有$x$个相同的木构件紧密拼接时，第一个木构件的长度为$6$。从第二个木构件开始，每个木构件与前一个木构件的凸出部分和凹进部分相互咬合，每个咬合部分会重叠$1$的长度。因此，除第一个木构件外，其余$(x - 1)$个木构件每个实际贡献的长度为$6 - 1=5$。
总长度$y$等于第一个木构件的长度加上其余$(x - 1)$个木构件贡献的长度，即：
$y=6 + 5(x - 1)$
化简可得：
$y=5x + 1$
故$y$关于$x$的关系式为$y = 5x+1$。
总长度$y$等于第一个木构件的长度加上其余$(x - 1)$个木构件贡献的长度，即：
$y=6 + 5(x - 1)$
化简可得：
$y=5x + 1$
故$y$关于$x$的关系式为$y = 5x+1$。
8. 分析并指出下列关系中的变量与常量：
（1）球的表面积$S$($cm^{2}$)与球的半径$R$(cm)的关系式是$S = 4π R^{2}$；
（2）以固定的速度$v_{0}$（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度$h$（米）与小球运动的时间$t$（秒）之间的关系式是$h = v_{0}t - 4.9t^{2}$；
（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离$h$(m)与它下落的时间$t$(s)的关系式是$h=\frac{1}{2}gt^{2}$（其中$g$取$9.8$m/$s^{2}$）；
（4）已知橙子每千克的售价是$1.8$元，则购买数量$w$（千克）与所付款$x$（元）之间的关系式是$x = 1.8w$。
（1）球的表面积$S$($cm^{2}$)与球的半径$R$(cm)的关系式是$S = 4π R^{2}$；
（2）以固定的速度$v_{0}$（米/秒）向上抛一个小球，小球的高度$h$（米）与小球运动的时间$t$（秒）之间的关系式是$h = v_{0}t - 4.9t^{2}$；
（3）一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离$h$(m)与它下落的时间$t$(s)的关系式是$h=\frac{1}{2}gt^{2}$（其中$g$取$9.8$m/$s^{2}$）；
（4）已知橙子每千克的售价是$1.8$元，则购买数量$w$（千克）与所付款$x$（元）之间的关系式是$x = 1.8w$。
答案
（1）变量：S，R；常量：4，π。
（2）变量：h，t；常量：v₀，-4.9。
（3）变量：h，t；常量：1/2，g（或1/2，9.8）。
（4）变量：w，x；常量：1.8。
（2）变量：h，t；常量：v₀，-4.9。
（3）变量：h，t；常量：1/2，g（或1/2，9.8）。
（4）变量：w，x；常量：1.8。
