9. $ △ A B C $ 是一块腰长为 $ 20 \mathrm{~cm} $ 的等腰直角三角形白铁皮零料。请你利用三角形零料裁出一块长方形白铁皮，并使长方形的四个顶点都在三角形的边上。
（1）活动一：若裁出的长方形白铁皮的面积为零料面积的 $ \frac{3}{8} $，请画出符合题意的裁剪示意图（一种即可），并求出此时长方形铁皮的边长。
（2）活动二：根据“活动一”中你选择的裁剪方法，思考并解答：
①是否能够使得裁出的长方形白铁皮的面积是零料面积的 $ \frac{3}{4} $？请判断并说明理由。
②猜想裁剪出的长方形白铁皮的面积的最大值。（直接写出结论，不必说明理由）

9.(1)裁剪方法一:如图①,设$AD = EF = x(cm)$，则$DE = AF = BD=(20 - x)cm$，由题意，得$x(20 - x)=\frac{3}{8}×\frac{1}{2}×20×20$，解得$x = 5$或$x = 15$，所以铁皮边长为$5cm$和$15cm$。
　　　　　　　　　
裁剪方法二:如图②,设$BE = CF = x(cm)$，则$DE = GF = x(cm)$，$EF=(20\sqrt{2}-2x)cm$，由题意，得$x(20\sqrt{2}-2x)=\frac{3}{8}×\frac{1}{2}×20×20$，解得$x_{1}=\frac{5}{2}\sqrt{2}$，$x_{2}=\frac{15}{2}\sqrt{2}$，所以铁皮边长为$\frac{5}{2}\sqrt{2}cm$和$\frac{15}{2}\sqrt{2}cm$，$\frac{15}{2}\sqrt{2}cm$和$5\sqrt{2}cm$。
(2)①选择第一种裁剪方法:$x(20 - x)=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×20×20$，整理，得$x^{2}-20x + 150 = 0$。$\Delta=400 - 600＜0$，此方程无解，所以不能使裁出的长方形白铁皮的面积是零料面积的$\frac{3}{4}$。
选择第二种裁剪方法:$x(20\sqrt{2}-2x)=\frac{3}{4}×\frac{1}{2}×20×20$，整理，得$x^{2}-10\sqrt{2}x + 75 = 0$。$\Delta=200 - 300＜0$，此方程无解，所以不能使裁出的长方形白铁皮的面积是零料面积的$\frac{3}{4}$。
②选择第一种裁剪方法:设裁剪长方形的面积为$y(cm^{2})$，则$y = x(20 - x)=-(x - 10)^{2}+100$，所以当$x = 10$时，$y = 100$最大。长方形白铁皮的面积的最大值为$100cm^{2}$。
选择第二种裁剪方法:设裁剪长方形的面积为$y(cm^{2})$，则$y = x(20\sqrt{2}-2x)=-2(x - 5\sqrt{2})^{2}+100$，所以当$x = 5\sqrt{2}$时，$y = 100$最大。长方形白铁皮的面积的最大值为$100cm^{2}$。