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1. 计算$(a + b)(a - b) + b(b - 2)$，结果是(
A.$a^{2} - b$
B.$a^{2} - 2$
C.$a^{2} - 2b$
D.$-2b$
C
)A.$a^{2} - b$
B.$a^{2} - 2$
C.$a^{2} - 2b$
D.$-2b$
答案
1. C
解析
【分析】
这道题是整式的混合运算题，解题思路是先根据相应的运算法则展开式子，再合并同类项化简，最后对比选项得出答案。首先，观察到$(a+b)(a-b)$符合平方差公式的形式，可利用平方差公式展开；$b(b-2)$是单项式乘多项式，按照单项式乘多项式的法则展开；之后将展开后的式子合并同类项，即可得到最简结果，再与选项匹配。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(a + b)(a - b) + b(b - 2)\\=&a^2 - b^2 + b^2 - 2b\\=&a^2 + (-b^2 + b^2) - 2b\\=&a^2 - 2b\end{aligned}$
对比选项，结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对平方差公式、单项式乘多项式法则以及合并同类项的掌握程度，运算过程中需注意同类项的准确合并，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
这道题是整式的混合运算题，解题思路是先根据相应的运算法则展开式子，再合并同类项化简，最后对比选项得出答案。首先，观察到$(a+b)(a-b)$符合平方差公式的形式，可利用平方差公式展开；$b(b-2)$是单项式乘多项式，按照单项式乘多项式的法则展开；之后将展开后的式子合并同类项，即可得到最简结果，再与选项匹配。
【解析】
解：
$\begin{aligned}&(a + b)(a - b) + b(b - 2)\\=&a^2 - b^2 + b^2 - 2b\\=&a^2 + (-b^2 + b^2) - 2b\\=&a^2 - 2b\end{aligned}$
对比选项，结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式混合运算，合并同类项
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，重点考查对平方差公式、单项式乘多项式法则以及合并同类项的掌握程度，运算过程中需注意同类项的准确合并，避免符号错误。
【难度系数】
0.8
2. 化简$(x + 1)^{2} - (x^{2} + 1)$，结果是(
A.$2x$
B.$0$
C.$-1$
D.$-2x$
A
)A.$2x$
B.$0$
C.$-1$
D.$-2x$
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这个化简题，我们可以按照以下思路进行：首先，观察到式子中有完全平方形式$(x+1)^2$，需要先利用完全平方公式将其展开；然后，对后面的括号进行去括号操作，注意括号前是减号，括号内各项要变号；最后合并同类项，就能得到化简结果，再与选项对比选出正确答案。
【解析】
1. 利用完全平方公式展开$(x+1)^2$：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（其中$a=x$，$b=1$），可得：
$(x+1)^2=x^2+2x+1$
2. 去括号并整理式子：
原式$=x^2+2x+1-(x^2+1)=x^2+2x+1-x^2-1$
3. 合并同类项：
$x^2-x^2+2x+1-1=2x$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式、整式的加减
【点评】
本题考查整式的化简运算，重点在于正确运用完全平方公式展开以及去括号时的符号处理，属于基础题型，只要掌握基本公式和运算规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这个化简题，我们可以按照以下思路进行：首先，观察到式子中有完全平方形式$(x+1)^2$，需要先利用完全平方公式将其展开；然后，对后面的括号进行去括号操作，注意括号前是减号，括号内各项要变号；最后合并同类项，就能得到化简结果，再与选项对比选出正确答案。
【解析】
1. 利用完全平方公式展开$(x+1)^2$：
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$（其中$a=x$，$b=1$），可得：
$(x+1)^2=x^2+2x+1$
2. 去括号并整理式子：
原式$=x^2+2x+1-(x^2+1)=x^2+2x+1-x^2-1$
3. 合并同类项：
$x^2-x^2+2x+1-1=2x$
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式、整式的加减
【点评】
本题考查整式的化简运算，重点在于正确运用完全平方公式展开以及去括号时的符号处理，属于基础题型，只要掌握基本公式和运算规则就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
3. 如果$x^{2} + x = 3$，那么代数式$(x + 1)·(x - 1) + x(x + 2)$的值是(
A.$2$
B.$3$
C.$5$
D.$6$
C
)A.$2$
B.$3$
C.$5$
D.$6$
答案
3. C
解析
【分析】
首先，观察题目可知，已知条件是$x^2 + x = 3$，要求的代数式是$(x + 1)·(x - 1) + x(x + 2)$。解题思路是先将代数式化简，通过整式的乘法运算展开式子，再合并同类项，把式子转化为含有$x^2 + x$的形式，最后利用整体代入法，将$x^2 + x = 3$代入化简后的式子计算出结果，这样可以避免直接求解$x$的值，简化计算过程。
【解析】
第一步，利用整式乘法法则展开代数式：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，可得$(x + 1)(x - 1)=x^2 - 1$；
根据单项式乘多项式法则$a(b+c)=ab+ac$，可得$x(x + 2)=x^2 + 2x$。
第二步，将展开后的式子相加并合并同类项：
$\begin{aligned}&(x + 1)(x - 1) + x(x + 2)\\=&x^2 - 1 + x^2 + 2x\\=&2x^2 + 2x - 1\\=&2(x^2 + x) - 1\end{aligned}$
第三步，整体代入已知条件$x^2 + x = 3$：
$2×3 - 1 = 6 - 1 = 5$
【答案】
C
【知识点】
整式的乘法运算、整体代入求值
【点评】
本题主要考查整式的化简求值，核心是运用整式乘法法则化简代数式，再结合整体代入思想简化计算。解题时需熟练掌握平方差公式、单项式乘多项式法则，注意合并同类项的准确性，整体代入是解决此类条件求值题的常用简便方法。
【难度系数】
0.8
首先，观察题目可知，已知条件是$x^2 + x = 3$，要求的代数式是$(x + 1)·(x - 1) + x(x + 2)$。解题思路是先将代数式化简，通过整式的乘法运算展开式子，再合并同类项，把式子转化为含有$x^2 + x$的形式，最后利用整体代入法，将$x^2 + x = 3$代入化简后的式子计算出结果，这样可以避免直接求解$x$的值，简化计算过程。
【解析】
第一步，利用整式乘法法则展开代数式：
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$，可得$(x + 1)(x - 1)=x^2 - 1$；
根据单项式乘多项式法则$a(b+c)=ab+ac$，可得$x(x + 2)=x^2 + 2x$。
第二步，将展开后的式子相加并合并同类项：
$\begin{aligned}&(x + 1)(x - 1) + x(x + 2)\\=&x^2 - 1 + x^2 + 2x\\=&2x^2 + 2x - 1\\=&2(x^2 + x) - 1\end{aligned}$
第三步，整体代入已知条件$x^2 + x = 3$：
$2×3 - 1 = 6 - 1 = 5$
【答案】
C
【知识点】
整式的乘法运算、整体代入求值
【点评】
本题主要考查整式的化简求值，核心是运用整式乘法法则化简代数式，再结合整体代入思想简化计算。解题时需熟练掌握平方差公式、单项式乘多项式法则，注意合并同类项的准确性，整体代入是解决此类条件求值题的常用简便方法。
【难度系数】
0.8
4. 当$x = -1$时，式子$(x - 2)^{2} - 2(2 - 2x) - (1 + x)(1 - x)$的值是(
A.$-\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$1$
D.$-1$
C
)A.$-\frac{1}{2}$
B.$2$
C.$1$
D.$-1$
答案
4. C
解析
【分析】
这道题是代数式求值问题，有两种解题思路：一是直接将$x=-1$代入原式计算；二是先利用乘法公式化简原式，再代入求值。相比直接代入，先化简能减少计算步骤，降低出错概率。我们先运用完全平方公式、平方差公式和乘法分配律展开原式，再合并同类项化简，最后代入$x=-1$计算出结果即可。
【解析】
步骤1：利用乘法公式和运算律展开原式
$\begin{aligned}&(x - 2)^{2} - 2(2 - 2x) - (1 + x)(1 - x)\\=&x^2 - 4x + 4 - (4 - 4x) - (1 - x^2)\\=&x^2 - 4x + 4 - 4 + 4x - 1 + x^2\end{aligned}$
步骤2：合并同类项化简
$\begin{aligned}&x^2 + x^2 - 4x + 4x + 4 - 4 - 1\\=&2x^2 - 1\end{aligned}$
步骤3：代入$x=-1$计算
当$x=-1$时，$2x^2 - 1 = 2×(-1)^2 - 1 = 2×1 - 1 = 1$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题主要考查整式的化简求值，灵活运用乘法公式能有效简化计算过程，解题时需注意符号的正确处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
这道题是代数式求值问题，有两种解题思路：一是直接将$x=-1$代入原式计算；二是先利用乘法公式化简原式，再代入求值。相比直接代入，先化简能减少计算步骤，降低出错概率。我们先运用完全平方公式、平方差公式和乘法分配律展开原式，再合并同类项化简，最后代入$x=-1$计算出结果即可。
【解析】
步骤1：利用乘法公式和运算律展开原式
$\begin{aligned}&(x - 2)^{2} - 2(2 - 2x) - (1 + x)(1 - x)\\=&x^2 - 4x + 4 - (4 - 4x) - (1 - x^2)\\=&x^2 - 4x + 4 - 4 + 4x - 1 + x^2\end{aligned}$
步骤2：合并同类项化简
$\begin{aligned}&x^2 + x^2 - 4x + 4x + 4 - 4 - 1\\=&2x^2 - 1\end{aligned}$
步骤3：代入$x=-1$计算
当$x=-1$时，$2x^2 - 1 = 2×(-1)^2 - 1 = 2×1 - 1 = 1$
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式、平方差公式、代数式求值
【点评】
本题主要考查整式的化简求值，灵活运用乘法公式能有效简化计算过程，解题时需注意符号的正确处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8
5. 现规定一种运算“$*$”：$a * b = ab + a - b$，其中$a$，$b$为有理数，则$a * b + (b - a) * b$等于(
A.$a^{2} - b$
B.$b^{2} - b$
C.$b^{2}$
D.$b^{2} - a$
B
)A.$a^{2} - b$
B.$b^{2} - b$
C.$b^{2}$
D.$b^{2} - a$
答案
5. B
解析
【分析】
首先，题目给出了新运算“$*$”的规则：$a * b = ab + a - b$，我们需要计算$a * b + (b - a) * b$的值。解题思路是：先分别根据新运算规则求出$a * b$和$(b - a) * b$的表达式，再将两个表达式相加，通过合并同类项化简，最后对比选项得到答案。具体来说，计算$(b - a) * b$时，要把$(b - a)$看作新运算中的“$a$”，$b$看作新运算中的“$b$”，代入规则展开；之后把两个式子相加，逐步抵消同类项，得到最简结果。
【解析】
1. 根据新运算规则，计算$a * b$：
$a * b = ab + a - b$
2. 计算$(b - a) * b$，将$(b - a)$对应规则中的$a$，$b$对应规则中的$b$，代入得：
$(b - a) * b = (b - a)b + (b - a) - b$
展开并化简：
$= b^2 - ab + b - a - b$
$= b^2 - ab - a$
3. 将两个结果相加：
$a * b + (b - a) * b = (ab + a - b) + (b^2 - ab - a)$
去括号后合并同类项：
$= ab + a - b + b^2 - ab - a$
$= (ab - ab) + (a - a) + b^2 - b$
$= b^2 - b$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、整式加减、合并同类项
【点评】
本题主要考查新定义运算的理解与应用，以及整式的加减运算。解题关键是准确把握新运算的规则，正确代入对应参数进行计算，同时在化简过程中注意符号变化，仔细合并同类项，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
首先，题目给出了新运算“$*$”的规则：$a * b = ab + a - b$，我们需要计算$a * b + (b - a) * b$的值。解题思路是：先分别根据新运算规则求出$a * b$和$(b - a) * b$的表达式，再将两个表达式相加，通过合并同类项化简，最后对比选项得到答案。具体来说，计算$(b - a) * b$时，要把$(b - a)$看作新运算中的“$a$”，$b$看作新运算中的“$b$”，代入规则展开；之后把两个式子相加，逐步抵消同类项，得到最简结果。
【解析】
1. 根据新运算规则，计算$a * b$：
$a * b = ab + a - b$
2. 计算$(b - a) * b$，将$(b - a)$对应规则中的$a$，$b$对应规则中的$b$，代入得：
$(b - a) * b = (b - a)b + (b - a) - b$
展开并化简：
$= b^2 - ab + b - a - b$
$= b^2 - ab - a$
3. 将两个结果相加：
$a * b + (b - a) * b = (ab + a - b) + (b^2 - ab - a)$
去括号后合并同类项：
$= ab + a - b + b^2 - ab - a$
$= (ab - ab) + (a - a) + b^2 - b$
$= b^2 - b$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算、整式加减、合并同类项
【点评】
本题主要考查新定义运算的理解与应用，以及整式的加减运算。解题关键是准确把握新运算的规则，正确代入对应参数进行计算，同时在化简过程中注意符号变化，仔细合并同类项，避免计算错误。
【难度系数】
0.7
6. 小明家在某市经营了甲、乙两个连锁超市，这两个连锁超市 4 月的销售额均为$m$万元，在 5 月和 6 月这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长$x\%$，而乙超市的销售额平均每月减少$x\%$，则 6 月甲超市的销售额比乙超市的销售额多
$ 0.04mx $
万元。(用含$m$，$x$的代数式表示)答案
6. $ 0.04mx $
解析
【分析】
首先，我们需要明确销售额增长和减少的计算逻辑：增长后的销售额=初始销售额×(1+增长率)，减少后的销售额=初始销售额×(1-减少率)。
第一步，推导甲超市6月的销售额：4月销售额为$m$万元，5月在4月基础上增长$x\%$，则5月销售额为$m(1+x\%)$，6月在5月基础上再次增长$x\%$，因此6月销售额为$m(1+x\%)^2$。
第二步，推导乙超市6月的销售额：同理，乙超市每月减少$x\%$，则5月销售额为$m(1-x\%)$，6月销售额为$m(1-x\%)^2$。
第三步，用甲超市6月销售额减去乙超市6月销售额，再通过平方差公式化简代数式，即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算甲超市6月销售额：
甲超市4月销售额为$ m $万元，平均每月增长$ x\% $，则6月销售额为：
$ m(1 + x\%)^2 $
2. 计算乙超市6月销售额：
乙超市4月销售额为$ m $万元，平均每月减少$ x\% $，则6月销售额为：
$ m(1 - x\%)^2 $
3. 计算两者销售额的差值：
$\begin{aligned}&m(1 + x\%)^2 - m(1 - x\%)^2\\=&m[(1 + x\%)^2 - (1 - x\%)^2]\\=&m[(1 + x\% - 1 + x\%)(1 + x\% + 1 - x\%)]\\=&m[(2x\%)(2)]\\=&m× 4x\%\\=&0.04mx\end{aligned}$
【答案】
$ 0.04mx $
【知识点】
增长率问题、平方差公式、代数式化简
【点评】
本题主要考查增长率与减少率的实际应用以及整式的化简计算，解题关键是熟练掌握增长率计算公式，并灵活运用平方差公式简化运算，避免直接展开完全平方带来的繁琐计算，提升解题的准确性和效率。
【难度系数】
0.7
首先，我们需要明确销售额增长和减少的计算逻辑：增长后的销售额=初始销售额×(1+增长率)，减少后的销售额=初始销售额×(1-减少率)。
第一步，推导甲超市6月的销售额：4月销售额为$m$万元，5月在4月基础上增长$x\%$，则5月销售额为$m(1+x\%)$，6月在5月基础上再次增长$x\%$，因此6月销售额为$m(1+x\%)^2$。
第二步，推导乙超市6月的销售额：同理，乙超市每月减少$x\%$，则5月销售额为$m(1-x\%)$，6月销售额为$m(1-x\%)^2$。
第三步，用甲超市6月销售额减去乙超市6月销售额，再通过平方差公式化简代数式，即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算甲超市6月销售额：
甲超市4月销售额为$ m $万元，平均每月增长$ x\% $，则6月销售额为：
$ m(1 + x\%)^2 $
2. 计算乙超市6月销售额：
乙超市4月销售额为$ m $万元，平均每月减少$ x\% $，则6月销售额为：
$ m(1 - x\%)^2 $
3. 计算两者销售额的差值：
$\begin{aligned}&m(1 + x\%)^2 - m(1 - x\%)^2\\=&m[(1 + x\%)^2 - (1 - x\%)^2]\\=&m[(1 + x\% - 1 + x\%)(1 + x\% + 1 - x\%)]\\=&m[(2x\%)(2)]\\=&m× 4x\%\\=&0.04mx\end{aligned}$
【答案】
$ 0.04mx $
【知识点】
增长率问题、平方差公式、代数式化简
【点评】
本题主要考查增长率与减少率的实际应用以及整式的化简计算，解题关键是熟练掌握增长率计算公式，并灵活运用平方差公式简化运算，避免直接展开完全平方带来的繁琐计算，提升解题的准确性和效率。
【难度系数】
0.7
7. 设$M = x + y$，$N = x - y$，$P = xy$。若$M = 1$，$N = 2$，则$P =$
$ -\dfrac{3}{4} $
。答案
7. $ -\dfrac{3}{4} $
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以选择两种思路：一是通过解二元一次方程组求出x、y的具体值，再计算xy；二是利用完全平方公式的变形直接推导xy的值，后者更简便。观察到$(x+y)^2$和$(x-y)^2$展开后，两者的差能消去$x^2$和$y^2$，直接得到关于xy的表达式，代入已知的M、N的值就能快速求出P=xy。
【解析】
已知$M = x + y = 1$，$N = x - y = 2$。
根据完全平方公式：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，将$x+y=1$代入得：$1^2 = x^2 + 2xy + y^2$，即$x^2 + 2xy + y^2 = 1$ ①；
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，将$x-y=2$代入得：$2^2 = x^2 - 2xy + y^2$，即$x^2 - 2xy + y^2 = 4$ ②；
用① - ②得：
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 1 - 4$
化简左边：$x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4xy$
右边：$1 - 4 = -3$
因此$4xy = -3$，解得$xy = -\dfrac{3}{4}$，即$P = -\dfrac{3}{4}$。
【答案】
$ -\dfrac{3}{4} $
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用及代数式求值，解题时可选择简便的公式变形法，避免解方程组的繁琐计算，提升解题效率，同时也考查了对整式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们可以选择两种思路：一是通过解二元一次方程组求出x、y的具体值，再计算xy；二是利用完全平方公式的变形直接推导xy的值，后者更简便。观察到$(x+y)^2$和$(x-y)^2$展开后，两者的差能消去$x^2$和$y^2$，直接得到关于xy的表达式，代入已知的M、N的值就能快速求出P=xy。
【解析】
已知$M = x + y = 1$，$N = x - y = 2$。
根据完全平方公式：
$(x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$，将$x+y=1$代入得：$1^2 = x^2 + 2xy + y^2$，即$x^2 + 2xy + y^2 = 1$ ①；
$(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$，将$x-y=2$代入得：$2^2 = x^2 - 2xy + y^2$，即$x^2 - 2xy + y^2 = 4$ ②；
用① - ②得：
$(x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) = 1 - 4$
化简左边：$x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 = 4xy$
右边：$1 - 4 = -3$
因此$4xy = -3$，解得$xy = -\dfrac{3}{4}$，即$P = -\dfrac{3}{4}$。
【答案】
$ -\dfrac{3}{4} $
【知识点】
完全平方公式，代数式求值
【点评】
本题主要考查完全平方公式的灵活运用及代数式求值，解题时可选择简便的公式变形法，避免解方程组的繁琐计算，提升解题效率，同时也考查了对整式运算的掌握程度。
【难度系数】
0.8
8. 一个长方形的长为$(x + 3)\mathrm{m}$，宽为$(x - 2)\mathrm{m}$，从中剪去一个边长为$(x - 2)\mathrm{m}$的正方形，则剩余部分的面积为
$ (5x - 10)\mathrm{m}^2 $
。答案
8. $ (5x - 10)\mathrm{m}^2 $
解析
【分析】
要计算剩余部分的面积，首先明确剩余面积的计算逻辑：剩余部分面积 = 长方形的面积 - 剪去的正方形的面积。首先回忆长方形和正方形的面积公式，长方形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长；然后分别代入已知的长、宽和正方形边长，列出面积表达式；最后通过整式的混合运算（提取公因式简化计算），对表达式进行化简，得到最终结果。
【解析】
解：剩余部分的面积 = 长方形的面积 - 正方形的面积
1. 计算长方形的面积：
长方形的长为$(x + 3)\mathrm{m}$，宽为$(x - 2)\mathrm{m}$，根据长方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{长方形}}=(x + 3)(x - 2)$
2. 计算正方形的面积：
正方形的边长为$(x - 2)\mathrm{m}$，根据正方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{正方形}}=(x - 2)^2$
3. 计算剩余部分的面积：
$S_{\mathrm{剩余}}=S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{正方形}}=(x + 3)(x - 2)-(x - 2)^2$
提取公因式$(x - 2)$：
$=(x - 2)[(x + 3)-(x - 2)]$
化简括号内的式子：
$=(x - 2)(x + 3 - x + 2)$
$=(x - 2)×5$
$=5x - 10$
因此，剩余部分的面积为$(5x - 10)\mathrm{m}^2$
【答案】
$(5x - 10)\mathrm{m}^2$
【知识点】
1. 长方形与正方形面积公式
2. 整式的混合运算
【点评】
本题结合几何图形面积考查整式的混合运算，解题关键是理清剩余面积的计算关系，通过提取公因式可简化运算过程，需要学生熟练掌握几何面积公式和整式运算规则，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
要计算剩余部分的面积，首先明确剩余面积的计算逻辑：剩余部分面积 = 长方形的面积 - 剪去的正方形的面积。首先回忆长方形和正方形的面积公式，长方形面积=长×宽，正方形面积=边长×边长；然后分别代入已知的长、宽和正方形边长，列出面积表达式；最后通过整式的混合运算（提取公因式简化计算），对表达式进行化简，得到最终结果。
【解析】
解：剩余部分的面积 = 长方形的面积 - 正方形的面积
1. 计算长方形的面积：
长方形的长为$(x + 3)\mathrm{m}$，宽为$(x - 2)\mathrm{m}$，根据长方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{长方形}}=(x + 3)(x - 2)$
2. 计算正方形的面积：
正方形的边长为$(x - 2)\mathrm{m}$，根据正方形面积公式可得：
$S_{\mathrm{正方形}}=(x - 2)^2$
3. 计算剩余部分的面积：
$S_{\mathrm{剩余}}=S_{\mathrm{长方形}} - S_{\mathrm{正方形}}=(x + 3)(x - 2)-(x - 2)^2$
提取公因式$(x - 2)$：
$=(x - 2)[(x + 3)-(x - 2)]$
化简括号内的式子：
$=(x - 2)(x + 3 - x + 2)$
$=(x - 2)×5$
$=5x - 10$
因此，剩余部分的面积为$(5x - 10)\mathrm{m}^2$
【答案】
$(5x - 10)\mathrm{m}^2$
【知识点】
1. 长方形与正方形面积公式
2. 整式的混合运算
【点评】
本题结合几何图形面积考查整式的混合运算，解题关键是理清剩余面积的计算关系，通过提取公因式可简化运算过程，需要学生熟练掌握几何面积公式和整式运算规则，属于基础应用型题目。
【难度系数】
0.8
9. 化简。
（1）$(2a - b)(2a + b) - (2a - b)^{2}$。
（2）$(x - 1)^{2} + (x + 3)(x - 3) + (x - 5)(x + 1)$。
（3）$(3a - 1)^{2} - 3(2 - 5a + 3a^{2})$。
（1）$(2a - b)(2a + b) - (2a - b)^{2}$。
（2）$(x - 1)^{2} + (x + 3)(x - 3) + (x - 5)(x + 1)$。
（3）$(3a - 1)^{2} - 3(2 - 5a + 3a^{2})$。
答案
9. 解：(1)原式 $ = 4a^2 - b^2 - (4a^2 - 4ab + b^2) $
$ = 4a^2 - b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 $
$ = 4ab - 2b^2 $。
(2)原式 $ = x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 + x^2 - 4x - 5 $
$ = 3x^2 - 6x - 13 $。
(3)原式 $ = 9a^2 - 6a + 1 - 6 + 15a - 9a^2 $
$ = 9a - 5 $。
$ = 4a^2 - b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 $
$ = 4ab - 2b^2 $。
(2)原式 $ = x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 + x^2 - 4x - 5 $
$ = 3x^2 - 6x - 13 $。
(3)原式 $ = 9a^2 - 6a + 1 - 6 + 15a - 9a^2 $
$ = 9a - 5 $。
解析
【分析】
这三道题均为整式化简题，解题思路是先根据对应的乘法公式或整式运算法则展开式子，再去括号、合并同类项得到最简结果：
1. 第(1)题：前半部分符合平方差公式，后半部分是完全平方公式，先分别用公式展开，再去括号合并同类项。
2. 第(2)题：依次用完全平方公式展开$(x-1)^2$、平方差公式展开$(x+3)(x-3)$、多项式乘多项式法则展开$(x-5)(x+1)$，最后合并同类项。
3. 第(3)题：先用完全平方公式展开$(3a-1)^2$，再计算单项式乘多项式$3(2-5a+3a^2)$，去括号后合并同类项。
【解析】
(1) 原式 $ = 4a^2 - b^2 - (4a^2 - 4ab + b^2) $
$ = 4a^2 - b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 $
$ = 4ab - 2b^2 $。
(2) 原式 $ = x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 + x^2 - 4x - 5 $
$ = 3x^2 - 6x - 13 $。
(3) 原式 $ = 9a^2 - 6a + 1 - 6 + 15a - 9a^2 $
$ = 9a - 5 $。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4ab - 2b^2}$；(2) $\boldsymbol{3x^2 - 6x - 13}$；(3) $\boldsymbol{9a - 5}$
【知识点】
1. 整式的混合运算
2. 平方差公式
3. 完全平方公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查乘法公式的应用与整式运算法则的掌握，解题时需注意去括号的符号变化，合并同类项要准确识别同类项，避免计算失误，通过练习可巩固公式记忆与运算能力。
【难度系数】
0.7
这三道题均为整式化简题，解题思路是先根据对应的乘法公式或整式运算法则展开式子，再去括号、合并同类项得到最简结果：
1. 第(1)题：前半部分符合平方差公式，后半部分是完全平方公式，先分别用公式展开，再去括号合并同类项。
2. 第(2)题：依次用完全平方公式展开$(x-1)^2$、平方差公式展开$(x+3)(x-3)$、多项式乘多项式法则展开$(x-5)(x+1)$，最后合并同类项。
3. 第(3)题：先用完全平方公式展开$(3a-1)^2$，再计算单项式乘多项式$3(2-5a+3a^2)$，去括号后合并同类项。
【解析】
(1) 原式 $ = 4a^2 - b^2 - (4a^2 - 4ab + b^2) $
$ = 4a^2 - b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 $
$ = 4ab - 2b^2 $。
(2) 原式 $ = x^2 - 2x + 1 + x^2 - 9 + x^2 - 4x - 5 $
$ = 3x^2 - 6x - 13 $。
(3) 原式 $ = 9a^2 - 6a + 1 - 6 + 15a - 9a^2 $
$ = 9a - 5 $。
【答案】
(1) $\boldsymbol{4ab - 2b^2}$；(2) $\boldsymbol{3x^2 - 6x - 13}$；(3) $\boldsymbol{9a - 5}$
【知识点】
1. 整式的混合运算
2. 平方差公式
3. 完全平方公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查乘法公式的应用与整式运算法则的掌握，解题时需注意去括号的符号变化，合并同类项要准确识别同类项，避免计算失误，通过练习可巩固公式记忆与运算能力。
【难度系数】
0.7
