例2 人要安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端,梯子与地面所成的角$\alpha$一般要满足$53^{ \circ } \leqslant \alpha \leqslant 72^{ \circ }$.如图7.4.1,梯子$AB$斜靠在竖直的墙$AO$上,$AB$的长为$4\ {m}$.
(1)若要安全使用这架梯子,则梯子顶端$A$与地面距离的最大值可为多少?
(2)当梯子底端$B$距离墙面$1.64\ {m}$时,计算$\angle ABO$,并判断此时人是否能安全使用这架梯子.(参考数据:$\sin 53^{ \circ } \approx 0.80$,$\cos 53^{ \circ } \approx 0.60$,$\sin 72^{ \circ } \approx 0.95$,$\cos 72^{ \circ } \approx 0.31$,$\sin 66^{ \circ } \approx 0.91$,$\cos 66^{ \circ } \approx 0.41$)
图7.4.1

​解：(1)由题意可得：当a=72°时，AO取得最大值​
​在Rt△AOB中，$sin∠ABO=\frac {AO}{AB}​$
​所以$AO=AB×sin∠ABO=4×sin{72}°=3.8(\mathrm {m})​$
​所以梯子顶端A与地面距离的最大值为3.8m​
​(2)在Rt△AOB中，$cos∠ABO=\frac {BO}{AB}=\frac {1.64}{4}=0.41​$
​所以∠ABO≈66°​
​因为53°＜66°＜72°​
​所以人能安全使用这架梯子
​

1. 在$\mathrm{Rt} \triangle ABC$中,$\angle C=90^{ \circ }$,$BC=\sqrt{5}$,$AC=\sqrt{15}$,则$\angle A$的度数为.

30°

2. 在$\triangle ABC$中,$\angle A$、$\angle B$都是锐角,$\sin A=\dfrac{\sqrt{3}}{2}$,$\tan B=\sqrt{3}$,则$\triangle ABC$的形状是.

等边三角形

3. 在$\triangle ABC$中,$\tan C=1$,$\cos B=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.求$\angle A$的度数.

​解：因为tanC=1​
​所以∠C=45°​
​因为$cosB = \frac {\sqrt{2}}{2}​$
​所以∠B=45°​
​所以∠A=180°-∠C-∠B=90°
​

4. 求满足下列各式的锐角$\alpha$:
(1)$2 \sin ( \alpha -20^{ \circ })=1$; (2)$\tan ^{2} \alpha +\tan \alpha -2=0$.

​解：$ (1)sin(a- 20°)=\frac {1}{2}​$
​a-20°=30°​
​a=50°​
​解：(2) (tana + 2)(tana- 1)= 0​
​tana+ 2= 0或tana- 1 = 0​
​tana= - 2或tana= 1​
​因为$tana\gt 0​$
​tana= 1​
​a=45°​

5. 已知在$\triangle ABC$中,$AD$是边$BC$上的高,$AD=2$,$AC=2\sqrt{2}$,$AB=4$,求$\angle BAC$的度数.

​解：如图①，$sinB=\frac {AD}{AB}=\frac {1}{2}，$∠B=30°​
$​sinC=\frac {AD}{AC}=\frac {\sqrt{2}}{2}，$∠C= 45°​
​所以∠BAC=180°-30°-45°=105°​
​如图②，$cos∠DAC =\frac {AD}{AC}=\frac {\sqrt{2}}{2}，$∠DAC= 45°​
$​cos∠DAB=\frac {AD}{AB}=\frac {1}{2}，$∠DAB=60°​
​所以∠BAC = 60°-45° = 15°​