6. 解三元一次方程组$\begin{cases}3x + 4z = 23, &①\\5y + z = 8, &②\\6x + y + 12z = 43, &③\end{cases}$时，下列消元不合理的是( )

A.先由①③消去$x$
B.先由②③消去$y$
C.先由①③消去$z$
D.先由①②把$x$，$y$均用$z$表示

C

分析各选项：
A：①×2得$6x+8z=46$，与③式相减可消去$x$，得到关于$y$、$z$的二元方程，与②式组成二元方程组，消元合理；
B：③×5-②可消去$y$，得到关于$x$、$z$的二元方程，与①式组成二元方程组，消元合理；
C：①×3-③消去$z$后，得到$3x-y=26$，该方程与②式含$x$、$y$、$z$三个变量，未形成二元方程组，消元不合理；
D：由①得$x=\frac{23-4z}{3}$，由②得$y=\frac{8-z}{5}$，代入③可消去$x$、$y$，转化为关于$z$的一元方程，消元合理。

7. 甲、乙、丙三个班的学生共植树$66$棵，甲班植树的棵数是乙班植树棵数的$2$倍，丙班与乙班植树棵数比为$2:3$，三个班各植树多少棵？

解：设甲班植树$a$棵，乙班植树$b$棵，丙班植树$c$棵。
根据题意，得：
$\begin{cases}a + b + c = 66 & (1) \\a = 2b & (2) \\\dfrac{c}{b} = \dfrac{2}{3} & (3)\end{cases}$
由(3)得：$c = \dfrac{2}{3}b$ (4)
将(2)、(4)代入(1)，得：
$2b + b + \dfrac{2}{3}b = 66$
合并同类项，得：
$\dfrac{11}{3}b = 66$
解得：$b = 18$
把$b = 18$代入(2)，得：$a = 2×18 = 36$
把$b = 18$代入(4)，得：$c = \dfrac{2}{3}×18 = 12$
答：甲班植树36棵，乙班植树18棵，丙班植树12棵。

8. 阅读并解决问题：给定方程组$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1,\frac{1}{y} + \frac{1}{z} = 2,\frac{1}{x} + \frac{1}{z} = 5,\end{cases}$如果令$\frac{1}{x} = A$，$\frac{1}{y} = B$，$\frac{1}{z} = C$，则原方程组变为$\begin{cases}A + B = 1, &①\\B + C = 2, &②\\A + C = 5, &③\end{cases}$由①$+$②$+$③得$2A + 2B + 2C = 8$，即$A + B + C = 4$④.由④$-$①得$C = 3$，④$-$②得$A = 2$，④$-$③得$B = - 1$，即$\frac{1}{x} = 2$，$\frac{1}{y} = - 1$，$\frac{1}{z} = 3$，所以原方程组的解为$x = \frac{1}{2}$，$y = - 1$，$z = \frac{1}{3}$.根据上面的方法，尝试求解方程组$\begin{cases}\frac{1}{x} + \frac{1}{y} - \frac{1}{z} = 2,\frac{1}{y} + \frac{1}{z} - \frac{1}{x} = 4,\frac{1}{x} + \frac{1}{z} - \frac{1}{y} = 6\end{cases}$的解.

解：令$\frac{1}{x}=A$，$\frac{1}{y}=B$，$\frac{1}{z}=C$，则原方程组变为：
$\begin{cases}A + B - C = 2, &①\\B + C - A = 4, &②\\A + C - B = 6, &③\end{cases}$
①+②+③得：$(A+B-C)+(B+C-A)+(A+C-B)=2+4+6$
化简得：$A+B+C=12$④
④-①得：$(A+B+C)-(A+B-C)=12-2$
即$2C=10$，解得$C=5$
④-②得：$(A+B+C)-(B+C-A)=12-4$
即$2A=8$，解得$A=4$
④-③得：$(A+B+C)-(A+C-B)=12-6$
即$2B=6$，解得$B=3$
因为$\frac{1}{x}=4$，$\frac{1}{y}=3$，$\frac{1}{z}=5$
所以$x=\frac{1}{4}$，$y=\frac{1}{3}$，$z=\frac{1}{5}$
原方程组的解为$\begin{cases}x=\frac{1}{4}\\y=\frac{1}{3}\\z=\frac{1}{5}\end{cases}$