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1. 如图20.1-9，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是(
A.$\sqrt{5}+1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$-\sqrt{5}+1$
D.$-\sqrt{5}-1$
B
)A.$\sqrt{5}+1$
B.$\sqrt{5}-1$
C.$-\sqrt{5}+1$
D.$-\sqrt{5}-1$
答案
1. B
解析
【解析】
由图可知，直角三角形两直角边分别为$1$和$2$，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
点$A$到$-1$的距离为$\sqrt{5}$，所以$a = \sqrt{5}-1$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、数轴
【点评】
本题通过勾股定理求出直角三角形斜边长度，再结合数轴确定点$A$表示的数，考查了对勾股定理和数轴概念的理解与运用。
【难度系数】
0.6
由图可知，直角三角形两直角边分别为$1$和$2$，根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$。
点$A$到$-1$的距离为$\sqrt{5}$，所以$a = \sqrt{5}-1$。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理、数轴
【点评】
本题通过勾股定理求出直角三角形斜边长度，再结合数轴确定点$A$表示的数，考查了对勾股定理和数轴概念的理解与运用。
【难度系数】
0.6
2. 已知点$P(-1,m)$在第三象限，且$OP=\sqrt{5}$，则m的值是(
A.-2
B.2
C.-1
D.1
A
)A.-2
B.2
C.-1
D.1
答案
2. A
解析
【解析】
因为点$P(-1,m)$在第三象限，所以$m＜0$。
又因为$OP = \sqrt{(-1)^2 + m^2}=\sqrt{5}$，即$1 + m^2 = 5$，$m^2 = 4$，解得$m=\pm2$。
结合$m＜0$，所以$m = - 2$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标特征、勾股定理
【点评】
本题先根据点所在象限确定$m$的取值范围，再利用勾股定理建立方程求解$m$的值。
【难度系数】
0.6
因为点$P(-1,m)$在第三象限，所以$m＜0$。
又因为$OP = \sqrt{(-1)^2 + m^2}=\sqrt{5}$，即$1 + m^2 = 5$，$m^2 = 4$，解得$m=\pm2$。
结合$m＜0$，所以$m = - 2$。
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系中点的坐标特征、勾股定理
【点评】
本题先根据点所在象限确定$m$的取值范围，再利用勾股定理建立方程求解$m$的值。
【难度系数】
0.6
1. 如图20.1-10，在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$AC = 4$，点D在BC上，$∠ ADC = 2∠ B$，$AD = 5$，则BC的长为(
A.6
B.7
C.10
D.8
D
)A.6
B.7
C.10
D.8
答案
1. D
解析
【解析】
因为$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，且$∠ ADC = 2∠ B$，所以$∠ B=∠ BAD$，则$BD = AD = 5$。
在$Rt△ ADC$中，根据勾股定理$DC=\sqrt{AD^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$。
所以$BC=BD + DC=5 + 3=8$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、三角形外角性质、等腰三角形判定
【点评】
本题通过三角形外角性质推出角的关系，进而得到边的关系，再利用勾股定理求解，考查知识点综合。
【难度系数】
0.6
因为$∠ ADC=∠ B+∠ BAD$，且$∠ ADC = 2∠ B$，所以$∠ B=∠ BAD$，则$BD = AD = 5$。
在$Rt△ ADC$中，根据勾股定理$DC=\sqrt{AD^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$。
所以$BC=BD + DC=5 + 3=8$。
【答案】
D
【知识点】
勾股定理、三角形外角性质、等腰三角形判定
【点评】
本题通过三角形外角性质推出角的关系，进而得到边的关系，再利用勾股定理求解，考查知识点综合。
【难度系数】
0.6
2. 如图20.1-11，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AC = 8$，$BC = 6$，将$△ ADE$沿DE翻折，使点A恰好与点B重合，求CE的长.
答案
2. 解：由已知，△ADE 沿 DE 翻折，A，B 两点重合，
∴AE=BE. 设 CE=x，则 AE=BE=8-x. 在 Rt△BCE 中，BC²+CE²=BE²，
∴6²+x²=(8-x)²，解得 x=$\frac{7}{4}$. 答：CE 的长为$\frac{7}{4}$.
∴AE=BE. 设 CE=x，则 AE=BE=8-x. 在 Rt△BCE 中，BC²+CE²=BE²，
∴6²+x²=(8-x)²，解得 x=$\frac{7}{4}$. 答：CE 的长为$\frac{7}{4}$.
解析
【解析】
由已知，$△ ADE$沿$DE$翻折，$A$，$B$两点重合，
$\therefore AE = BE$。
设$CE = x$，则$AE = BE = 8 - x$。
在$Rt△ BCE$中，根据勾股定理$BC^{2}+CE^{2}=BE^{2}$，
$\therefore 6^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$，
展开$(8 - x)^{2}$得$64 - 16x + x^{2}$，
则$36 + x^{2}=64 - 16x + x^{2}$，
移项可得$16x = 64 - 36$，
即$16x = 28$，
解得$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
$CE$的长为$\frac{7}{4}$。
【知识点】
勾股定理、翻折的性质、方程思想
【点评】
本题通过翻折的性质得到线段相等关系，再利用勾股定理建立方程求解，考查了对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
由已知，$△ ADE$沿$DE$翻折，$A$，$B$两点重合，
$\therefore AE = BE$。
设$CE = x$，则$AE = BE = 8 - x$。
在$Rt△ BCE$中，根据勾股定理$BC^{2}+CE^{2}=BE^{2}$，
$\therefore 6^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$，
展开$(8 - x)^{2}$得$64 - 16x + x^{2}$，
则$36 + x^{2}=64 - 16x + x^{2}$，
移项可得$16x = 64 - 36$，
即$16x = 28$，
解得$x=\frac{7}{4}$。
【答案】
$CE$的长为$\frac{7}{4}$。
【知识点】
勾股定理、翻折的性质、方程思想
【点评】
本题通过翻折的性质得到线段相等关系，再利用勾股定理建立方程求解，考查了对知识点的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
【例】 如图20.1-12，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知$AB = 8\mathrm{cm}$，$BC = 10\mathrm{cm}$，求EC的长.
【点拨】 由折叠的性质可得$AD = AF$，$∠ D = ∠ AFE$，$DE = EF$，由勾股定理可求BF的长和EC的长. 本题主要考查了折叠问题的性质的运用，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段.
【点拨】 由折叠的性质可得$AD = AF$，$∠ D = ∠ AFE$，$DE = EF$，由勾股定理可求BF的长和EC的长. 本题主要考查了折叠问题的性质的运用，需找到翻折后相应的直角三角形，利用勾股定理求解所需线段.
答案
【例】解：设 EC 的长为 x cm，则 DE=(8-x)cm.
∵△ADE 折叠后的图形是△AFE，
∴AD=AF，∠D=∠AFE. 又
∵AE=AE，
∴△AFE≌△ADE，
∴DE=EF.
∵AD=BC=10 cm，
∴AF=AD=10 cm. 又
∵AB=8 cm，在 Rt△ABF 中，根据勾股定理，得 AB²+BF²=AF²，
∴8²+BF²=10²，
∴BF=6 cm.
∴FC=BC-BF=10-6=4（cm）. 在 Rt△EFC 中，根据勾股定理，得 FC²+EC²=EF²，
∴4²+x²=(8-x)²，
∴x=3. 答：EC 的长为 3 cm.
∵△ADE 折叠后的图形是△AFE，
∴AD=AF，∠D=∠AFE. 又
∵AE=AE，
∴△AFE≌△ADE，
∴DE=EF.
∵AD=BC=10 cm，
∴AF=AD=10 cm. 又
∵AB=8 cm，在 Rt△ABF 中，根据勾股定理，得 AB²+BF²=AF²，
∴8²+BF²=10²，
∴BF=6 cm.
∴FC=BC-BF=10-6=4（cm）. 在 Rt△EFC 中，根据勾股定理，得 FC²+EC²=EF²，
∴4²+x²=(8-x)²，
∴x=3. 答：EC 的长为 3 cm.
解析
【解析】
设$EC$的长为$x cm$，则$DE=(8 - x)cm$。
因为$△ ADE$折叠后的图形是$△ AFE$，所以$AD = AF$，$∠ D=∠ AFE$，又因为$AE = AE$，所以$△ AFE≌△ ADE$，则$DE = EF$。
已知$AD = BC = 10 cm$，所以$AF = AD = 10 cm$。
又因为$AB = 8 cm$，在$Rt△ ABF$中，根据勾股定理$AB^{2}+BF^{2}=AF^{2}$，即$8^{2}+BF^{2}=10^{2}$，解得$BF = 6 cm$。
所以$FC = BC - BF = 10 - 6 = 4(cm)$。
在$Rt△ EFC$中，根据勾股定理$FC^{2}+EC^{2}=EF^{2}$，即$4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$，
展开$(8 - x)^{2}$得$64 - 16x + x^{2}$，则$16 + x^{2}=64 - 16x + x^{2}$，
移项可得$16x = 64 - 16$，
即$16x = 48$，
解得$x = 3$。
【答案】
$EC$的长为$3 cm$。
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定
【点评】
本题通过设未知数，利用折叠性质得到边的关系，再结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
$0.4$
设$EC$的长为$x cm$，则$DE=(8 - x)cm$。
因为$△ ADE$折叠后的图形是$△ AFE$，所以$AD = AF$，$∠ D=∠ AFE$，又因为$AE = AE$，所以$△ AFE≌△ ADE$，则$DE = EF$。
已知$AD = BC = 10 cm$，所以$AF = AD = 10 cm$。
又因为$AB = 8 cm$，在$Rt△ ABF$中，根据勾股定理$AB^{2}+BF^{2}=AF^{2}$，即$8^{2}+BF^{2}=10^{2}$，解得$BF = 6 cm$。
所以$FC = BC - BF = 10 - 6 = 4(cm)$。
在$Rt△ EFC$中，根据勾股定理$FC^{2}+EC^{2}=EF^{2}$，即$4^{2}+x^{2}=(8 - x)^{2}$，
展开$(8 - x)^{2}$得$64 - 16x + x^{2}$，则$16 + x^{2}=64 - 16x + x^{2}$，
移项可得$16x = 64 - 16$，
即$16x = 48$，
解得$x = 3$。
【答案】
$EC$的长为$3 cm$。
【知识点】
折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定
【点评】
本题通过设未知数，利用折叠性质得到边的关系，再结合勾股定理建立方程求解，体现了方程思想在几何问题中的应用。
【难度系数】
$0.4$
