【例 2】一个四边形的四个外角的度数比为 $1:2:3:4$，求这个四边形四个内角的度数.
解：
【规律方法】
(1) 已知四边形外角的比例关系，可设未知数，根据“四边形的外角和等于 $360°$”列方程(或方程组)求解.
(2) 求内角度数可先求其相邻外角的度数，反之亦然，利用邻补角的关系转化求解.
| 变式训练 |
3. 一个四边形的三个外角分别为 $80°$，$90°$，$100°$，则它的第四个外角相邻的内角为()
A. $90°$
B. $100°$
C. $110°$
D. $120°$
4. 在四边形 $ABCD$ 中，若 $∠ A$ 与 $∠ C$ 的和等于四边形外角和的一半，$∠ B$ 比 $∠ D$ 大 $15°$，求 $∠ B$ 的度数.

【例 2】解:这个四边形四个内角的度数分别为 144°,108°,72°,36°.
变式训练
3.A 4.解:∠B = 97.5°.

【解析】
例2解析：
设这个四边形的四个外角的度数分别为$x$，$2x$，$3x$，$4x$。
因为四边形的外角和为$360°$，列方程：
$x + 2x + 3x + 4x = 360°$
解得$x = 36°$，则四个外角依次为$36°$，$72°$，$108°$，$144°$。
根据邻补角和为$180°$，可得四个内角分别为：
$180° - 36° = 144°$，$180° - 72° = 108°$，$180° - 108° = 72°$，$180° - 144° = 36°$。
变式3解析：
根据四边形外角和为$360°$，第四个外角的度数为：
$360° - 80° - 90° - 100° = 90°$
由邻补角和为$180°$，得其相邻内角为$180° - 90° = 90°$，故选A。
变式4解析：
四边形外角和为$360°$，则其一半为$180°$，即$∠A + ∠C = 180°$。
四边形内角和为$(4 - 2)×180° = 360°$，所以$∠B + ∠D = 360° - (∠A + ∠C) = 180°$。
已知$∠B - ∠D = 15°$，联立方程组：
$\begin{cases}∠B + ∠D = 180° \\ ∠B - ∠D = 15°\end{cases}$
两式相加得$2∠B = 195°$，解得$∠B = 97.5°$。
【答案】
例2答案：
这个四边形四个内角的度数分别为$144°$，$108°$，$72°$，$36°$；
变式3答案：
A；
变式4答案：
$∠B = 97.5°$。
【知识点】
四边形内外角和定理，邻补角性质，方程思想
【点评】
本题通过例题及变式训练，围绕四边形内外角和性质展开，利用邻补角的互补关系实现角度转化，结合方程思想求解角度，帮助理解几何计算中定理的应用与转化思想，提升几何计算能力。
【难度系数】
0.6

【例 3】下列生活实例中，利用四边形不稳定性的是()
A. 自行车的三角形车架
B. 在长方形门框上钉木条
C. 折叠晾衣架
D. 三角形屋顶
【规律方法】
判断生活中的实例是否利用四边形的不稳定性，需看是否利用其形状可改变的特点，若形状可改变，则利用了四边形的不稳定性. 为了增强四边形的稳定性，可将其转化为三角形.
| 变式训练 |
5. 下列生活实例中，克服四边形不稳定性的是()
A. 电动伸缩门
B. 升降平台
C. 在画框背面钉上木条
D. 可折叠椅子

【例 3】C
变式训练
5.C

【解析】
例3：A选项自行车的三角形车架利用三角形的稳定性；B选项在长方形门框上钉木条是将四边形转化为三角形，增强稳定性；C选项折叠晾衣架利用了四边形形状可改变的不稳定性；D选项三角形屋顶利用三角形的稳定性，故例3选C。
变式训练5：A选项电动伸缩门、B选项升降平台、D选项可折叠椅子均利用四边形的不稳定性；C选项在画框背面钉上木条，是将四边形转化为三角形，克服四边形的不稳定性，增强其稳定性，故变式训练5选C。
【答案】
例3：C；变式训练5：C
【知识点】
四边形的不稳定性、三角形的稳定性
【点评】
本题通过生活实例考查四边形不稳定性与三角形稳定性的应用，需明确“利用”与“克服”的区别，结合生活常识理解图形的稳定性特点。
【难度系数】
0.8