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1. 离差：一般地，有 $ n $ 个数据 $ x_1,x_2,···,x_n $，用 $ \overline{x} $ 表示它们的平均数，我们把
$ x _ { i } - \overline { x } ( i = 1 , 2 , ··· , n ) $
叫作 $ x_i $ 关于平均数 $ \overline{x} $ 的离差。答案
1. $ x _ { i } - \overline { x } ( i = 1 , 2 , ··· , n ) $
解析
【解析】
根据离差的定义，对于$n$个数据$x_1,x_2,···,x_n$，其平均数为$\overline{x}$，$x_i$关于平均数$\overline{x}$的离差为每个数据与平均数的差，即$x _ { i } - \overline { x } ( i = 1 , 2 , ··· , n )$。
【答案】
$x _ { i } - \overline { x } ( i = 1 , 2 , ··· , n )$
【知识点】
离差的定义
【点评】
本题考查离差的基本定义，属于基础概念题，检验学生对统计基本概念的识记能力，难度较低，需准确牢记定义内容。
【难度系数】
0.9
根据离差的定义，对于$n$个数据$x_1,x_2,···,x_n$，其平均数为$\overline{x}$，$x_i$关于平均数$\overline{x}$的离差为每个数据与平均数的差，即$x _ { i } - \overline { x } ( i = 1 , 2 , ··· , n )$。
【答案】
$x _ { i } - \overline { x } ( i = 1 , 2 , ··· , n )$
【知识点】
离差的定义
【点评】
本题考查离差的基本定义，属于基础概念题，检验学生对统计基本概念的识记能力，难度较低，需准确牢记定义内容。
【难度系数】
0.9
2. 离差平方和：为了避免离差求和时正负抵消的问题，统计中通常先对离差进行平方，然后求和。我们把
$ ( x _ { 1 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ··· + ( x _ { n } - \overline { x } ) ^ { 2 } $
叫作这 $ n $ 个数据关于平均数的离差平方和，记作“$ d ^ { 2 } $
”。答案
2. $ ( x _ { 1 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ··· + ( x _ { n } - \overline { x } ) ^ { 2 } $ $ d ^ { 2 } $
解析
【解析】
根据离差平方和的定义，把每个数据与平均数的差的平方相加的结果，叫作这$n$个数据关于平均数的离差平方和，通常记作$d^2$。
【答案】
$( x _ { 1 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ··· + ( x _ { n } - \overline { x } ) ^ { 2 }$；$d ^ { 2 }$
【知识点】
离差平方和定义
【点评】
本题考查统计中离差平方和的基础概念，侧重对其表达式及符号记法的考查，属于易掌握的基础题型，需准确识记相关内容。
【难度系数】
0.8
根据离差平方和的定义，把每个数据与平均数的差的平方相加的结果，叫作这$n$个数据关于平均数的离差平方和，通常记作$d^2$。
【答案】
$( x _ { 1 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ··· + ( x _ { n } - \overline { x } ) ^ { 2 }$；$d ^ { 2 }$
【知识点】
离差平方和定义
【点评】
本题考查统计中离差平方和的基础概念，侧重对其表达式及符号记法的考查，属于易掌握的基础题型，需准确识记相关内容。
【难度系数】
0.8
3. 方差：把离差的平方的平均数
$ \frac { ( x _ { 1 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ··· + ( x _ { n } - \overline { x } ) ^ { 2 } } { n } $
叫作这组数据的方差
，记作“$ s ^ { 2 } $
”。答案
3. $ \frac { ( x _ { 1 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ··· + ( x _ { n } - \overline { x } ) ^ { 2 } } { n } $ 方差 $ s ^ { 2 } $
解析
【解析】
根据方差的定义，把离差的平方的平均数$\frac { ( x _ { 1 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ··· + ( x _ { n } - \overline { x } ) ^ { 2 } } { n }$叫作这组数据的方差，记作“$s ^ { 2 }$”。
【答案】
$\frac { ( x _ { 1 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ··· + ( x _ { n } - \overline { x } ) ^ { 2 } } { n }$；方差；$s ^ { 2 }$
【知识点】
方差的定义
【点评】
本题考查方差的基本定义，属于基础概念题，需牢记方差的表达式及符号表示。
【难度系数】
0.8
根据方差的定义，把离差的平方的平均数$\frac { ( x _ { 1 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ··· + ( x _ { n } - \overline { x } ) ^ { 2 } } { n }$叫作这组数据的方差，记作“$s ^ { 2 }$”。
【答案】
$\frac { ( x _ { 1 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ( x _ { 2 } - \overline { x } ) ^ { 2 } + ··· + ( x _ { n } - \overline { x } ) ^ { 2 } } { n }$；方差；$s ^ { 2 }$
【知识点】
方差的定义
【点评】
本题考查方差的基本定义，属于基础概念题，需牢记方差的表达式及符号表示。
【难度系数】
0.8
4. 方差的意义：方差反映了
每个数据
与平均数
的平均差异程度，能较好地反映出数据的离散程度
，是刻画数据离散程度
最常用的统计量。方差越大
，数据的离散程度越大
；方差越小
，数据的离散程度越小
。答案
4. 每个数据 平均数 离散程度 离散程度 大 大 小 小
解析
【解析】
方差是刻画数据离散程度的常用统计量，它反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地体现数据的离散程度；方差的大小与数据离散程度正相关，即方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小。
【答案】
每个数据 平均数 离散程度 离散程度 大 大 小 小
【知识点】
方差的意义、数据离散程度
【点评】
本题考查方差意义的基础概念，重点考查方差与数据离散程度的关系，属于统计学科的基础识记内容，有助于夯实统计知识的基础。
【难度系数】
0.9
方差是刻画数据离散程度的常用统计量，它反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地体现数据的离散程度；方差的大小与数据离散程度正相关，即方差越大，数据的离散程度越大；方差越小，数据的离散程度越小。
【答案】
每个数据 平均数 离散程度 离散程度 大 大 小 小
【知识点】
方差的意义、数据离散程度
【点评】
本题考查方差意义的基础概念，重点考查方差与数据离散程度的关系，属于统计学科的基础识记内容，有助于夯实统计知识的基础。
【难度系数】
0.9
1. 根据样本数据计算得到的方差，叫作
样本方差
；根据总体数据计算得到的方差，叫作总体方差
。答案
1. 样本方差 总体方差
解析
【解析】
根据统计相关概念的定义，由样本数据计算得到的方差称为样本方差；由总体数据计算得到的方差称为总体方差。
【答案】
样本方差；总体方差
【知识点】
样本方差与总体方差的定义
【点评】
本题主要考查样本方差和总体方差的概念区分，属于基础概念题，需准确牢记二者的定义。
【难度系数】
0.8
根据统计相关概念的定义，由样本数据计算得到的方差称为样本方差；由总体数据计算得到的方差称为总体方差。
【答案】
样本方差；总体方差
【知识点】
样本方差与总体方差的定义
【点评】
本题主要考查样本方差和总体方差的概念区分，属于基础概念题，需准确牢记二者的定义。
【难度系数】
0.8
2. 一般对于两组数据来说，可从平均数和方差两个方面进行比较，平均数反映一组数据的
平均水平
，方差则反映一组数据在平均数左右的波动大小
，因此从平均数看或从方差看，各有长处。答案
2. 平均水平 波动大小
解析
【解析】
平均数是表示一组数据集中趋势的量数，反映一组数据的平均水平；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，反映一组数据在平均数左右的波动大小。
【答案】
平均水平；波动大小
【知识点】
平均数的意义、方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差的统计意义，属于基础概念题，侧重对统计基本概念的理解与掌握。
【难度系数】
0.9
平均数是表示一组数据集中趋势的量数，反映一组数据的平均水平；方差是用来衡量一组数据波动大小的量，反映一组数据在平均数左右的波动大小。
【答案】
平均水平；波动大小
【知识点】
平均数的意义、方差的意义
【点评】
本题考查平均数和方差的统计意义，属于基础概念题，侧重对统计基本概念的理解与掌握。
【难度系数】
0.9
【例 1】为了弘扬中华传统文化，某班开展了背诵古诗词竞赛，满分为 10 分。现从 40 名同学中随机抽取 5 名同学的得分，得到如下数据：6，6，8，10，10。该样本的方差是(
A. 3.2
B. 3.3
C. 3.4
D. 3.5
【规律方法】
求一组数据的方差
(1)先求出这组数据的平均数 $ \overline{x} $；
(2)直接套用方差的计算公式 $ s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+···+(x_n-\overline{x})^2}{n} $ 计算。
A
)A. 3.2
B. 3.3
C. 3.4
D. 3.5
【规律方法】
求一组数据的方差
(1)先求出这组数据的平均数 $ \overline{x} $；
(2)直接套用方差的计算公式 $ s^2=\frac{(x_1-\overline{x})^2+(x_2-\overline{x})^2+···+(x_n-\overline{x})^2}{n} $ 计算。
答案
【例 1】A
解析
【解析】
1. 计算样本平均数：
$\overline{x}=\frac{6+6+8+10+10}{5}=8$
2. 代入方差公式计算：
$s^2=\frac{(6-8)^2+(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(10-8)^2}{5}=\frac{4+4+0+4+4}{5}=\frac{16}{5}=3.2$
【答案】
A
【知识点】
样本方差计算
【点评】
本题考查样本方差的计算，需先求平均数再套用方差公式，属于基础运算题，步骤清晰易懂。
【难度系数】
0.7
1. 计算样本平均数：
$\overline{x}=\frac{6+6+8+10+10}{5}=8$
2. 代入方差公式计算：
$s^2=\frac{(6-8)^2+(6-8)^2+(8-8)^2+(10-8)^2+(10-8)^2}{5}=\frac{4+4+0+4+4}{5}=\frac{16}{5}=3.2$
【答案】
A
【知识点】
样本方差计算
【点评】
本题考查样本方差的计算，需先求平均数再套用方差公式，属于基础运算题，步骤清晰易懂。
【难度系数】
0.7
1. 若数据 10，9，$ a $，12，9 的平均数是 10，则这组数据的方差是
1.2
。答案
1. 1.2
解析
【解析】
1. 根据平均数计算公式列方程：
$\frac{10 + 9 + a + 12 + 9}{5} = 10$
计算得$10+9+12+9=40$，则$\frac{40+a}{5}=10$，解得$a=10$。
2. 根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入数据：
$\frac{(10-10)^2+(9-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2+(9-10)^2}{5}=\frac{0+1+0+4+1}{5}=1.2$
【答案】
1.2
【知识点】
平均数的计算、方差的计算
【点评】
本题考查平均数与方差的综合应用，需先利用平均数公式求出未知数据，再根据方差公式计算结果，熟练掌握相关公式是解题关键。
【难度系数】
0.8
1. 根据平均数计算公式列方程：
$\frac{10 + 9 + a + 12 + 9}{5} = 10$
计算得$10+9+12+9=40$，则$\frac{40+a}{5}=10$，解得$a=10$。
2. 根据方差公式$S^2=\frac{1}{n}[(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2]$代入数据：
$\frac{(10-10)^2+(9-10)^2+(10-10)^2+(12-10)^2+(9-10)^2}{5}=\frac{0+1+0+4+1}{5}=1.2$
【答案】
1.2
【知识点】
平均数的计算、方差的计算
【点评】
本题考查平均数与方差的综合应用，需先利用平均数公式求出未知数据，再根据方差公式计算结果，熟练掌握相关公式是解题关键。
【难度系数】
0.8
2. 已知一组数据 1，2，3，4，5 的平均数是 $ \overline{x}_1 $，方差是 $ s_1^2 $，另一组数据 2，3，4，5，6 的平均数是 $ \overline{x}_2 $，方差是 $ s_2^2 $，则下列说法正确的是(
A.$ \overline{x}_1=\overline{x}_2 $，$ s_1^2=s_2^2 $
B.$ \overline{x}_1≠\overline{x}_2 $，$ s_1^2=s_2^2 $
C.$ \overline{x}_1=\overline{x}_2 $，$ s_1^2≠ s_2^2 $
D.$ \overline{x}_1≠\overline{x}_2 $，$ s_1^2≠ s_2^2 $
B
)A.$ \overline{x}_1=\overline{x}_2 $，$ s_1^2=s_2^2 $
B.$ \overline{x}_1≠\overline{x}_2 $，$ s_1^2=s_2^2 $
C.$ \overline{x}_1=\overline{x}_2 $，$ s_1^2≠ s_2^2 $
D.$ \overline{x}_1≠\overline{x}_2 $，$ s_1^2≠ s_2^2 $
答案
2. B
解析
【解析】
1. 计算平均数：
第一组数据平均数：$\overline{x}_1=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$
第二组数据平均数：$\overline{x}_2=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4$
因此$\overline{x}_1≠\overline{x}_2$。
2. 计算方差：
第一组数据方差：$s_1^2=\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$
第二组数据方差：$s_2^2=\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$
因此$s_1^2=s_2^2$。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题主要考查平均数和方差的计算，需熟练掌握二者的计算公式，理解数据整体平移时，方差不变、平均数随平移量变化的特点。
【难度系数】
0.6
1. 计算平均数：
第一组数据平均数：$\overline{x}_1=\frac{1+2+3+4+5}{5}=3$
第二组数据平均数：$\overline{x}_2=\frac{2+3+4+5+6}{5}=4$
因此$\overline{x}_1≠\overline{x}_2$。
2. 计算方差：
第一组数据方差：$s_1^2=\frac{(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$
第二组数据方差：$s_2^2=\frac{(2-4)^2+(3-4)^2+(4-4)^2+(5-4)^2+(6-4)^2}{5}=\frac{4+1+0+1+4}{5}=2$
因此$s_1^2=s_2^2$。
综上，正确选项为B。
【答案】
B
【知识点】
平均数计算，方差计算
【点评】
本题主要考查平均数和方差的计算，需熟练掌握二者的计算公式，理解数据整体平移时，方差不变、平均数随平移量变化的特点。
【难度系数】
0.6
