例 1 计算：
(1) $(ab)^{3}· 3a^{2}· (4a^{2}b^{3})^{2}$；
(2) $2(x^{3})^{2}· x^{3}-(3x^{3})^{3}+(5x)^{2}· x^{7}$.

(1)
$\begin{align}&(ab)^{3} · 3a^{2} · (4a^{2}b^{3})^{2} \\=& a^{3}b^{3} · 3a^{2} · 16a^{4}b^{6} \\=& 48a^{3 + 2+4}b^{3 + 6} \\=& 48a^{9}b^{9}\end{align}$
(2)
$\begin{align}&2(x^{3})^{2} · x^{3}-(3x^{3})^{3}+(5x)^{2} · x^{7} \\=& 2x^{6} · x^{3}-27x^{9}+25x^{2} · x^{7} \\=& 2x^{9}-27x^{9}+25x^{9} \\=& (2 - 27+25)x^{9} \\=& 0\end{align}$

【分析】
这两道题均为整式的混合运算，解题思路是先依据幂的相关运算法则（积的乘方、幂的乘方）去掉括号，将各项转化为同底数幂的形式，再利用同底数幂的乘法法则进行乘法运算，第(2)题最后还需合并同类项得到结果。运算过程中要遵循“先乘方，再乘法，最后加减”的顺序，注意系数和指数的正确计算。
【解析】
(1)
$\begin{align}&(ab)^{3} · 3a^{2} · (4a^{2}b^{3})^{2} \\=& a^{3}b^{3} · 3a^{2} · 16a^{4}b^{6} \\=& 48a^{3 + 2+4}b^{3 + 6} \\=& 48a^{9}b^{9}\end{align}$
(2)
$\begin{align}&2(x^{3})^{2} · x^{3}-(3x^{3})^{3}+(5x)^{2} · x^{7} \\=& 2x^{6} · x^{3}-27x^{9}+25x^{2} · x^{7} \\=& 2x^{9}-27x^{9}+25x^{9} \\=& (2 - 27+25)x^{9} \\=& 0\end{align}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{48a^{9}b^{9}}$；(2) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
幂的运算法则、整式混合运算
【点评】
本题主要考查整式的混合运算，解题时需严格遵循运算顺序，准确运用积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法法则，注意系数运算和同类项合并，避免指数运算错误或系数计算失误。
【难度系数】
0.8

例 2 将长为 $2×10^{3}dm$，宽为 $4×10^{2}dm$，高为 $8×10dm$ 的长方体废水池中的满池废水注入一个正方体贮水池净化，这些废水正好灌满这个正方体贮水池. 求该正方体贮水池的棱长.
分析 解此题的关键是要知道正方体贮水池的容积等于长方体废水池的容积，而正方体的容积等于棱长的立方，逆用积的乘方运算性质可得棱长.

长方体废水池的容积为：$(2×10^{3})×(4×10^{2})×(8×10)$
$=2×4×8×10^{3}×10^{2}×10$
$=64×10^{6}$
$=6.4×10^{7}(dm^{3})$
设正方体贮水池的棱长为$a$，则$a^{3}=6.4×10^{7}$
$a^{3}=64×10^{6}$
$a=\sqrt[3]{64×10^{6}}$
$a=4×10^{2}=400(dm)$
答：该正方体贮水池的棱长为$400dm$。

【分析】
要解决这个问题，关键是抓住“废水体积不变”这一等量关系，即正方体贮水池的容积等于长方体废水池的容积。首先根据长方体容积公式（长×宽×高）计算出废水的体积，也就是长方体的容积；再根据正方体容积公式（棱长的立方），对得到的容积开立方，即可求出正方体的棱长。计算过程中可利用乘法交换律、结合律以及同底数幂的乘法法则简化运算，最后将结果转化为可直接开立方的形式，逆用立方的运算得到棱长。
【解析】
1. 计算长方体废水池的容积：
$\begin{aligned}&(2×10^{3})×(4×10^{2})×(8×10)\\=&2×4×8×10^{3}×10^{2}×10\\=&64×10^{6}\\=&6.4×10^{7}(dm^{3})\end{aligned}$
2. 设正方体贮水池的棱长为$a$，因为废水正好灌满正方体贮水池，所以正方体容积等于长方体容积，即：
$a^{3}=6.4×10^{7}$
将$6.4×10^{7}$转化为$64×10^{6}$，则：
$a^{3}=64×10^{6}$
对等式两边开立方：
$a=\sqrt[3]{64×10^{6}}=\sqrt[3]{64}×\sqrt[3]{10^{6}}=4×10^{2}=400(dm)$
【答案】
该正方体贮水池的棱长为$400dm$。
【知识点】
长方体与正方体容积计算、同底数幂乘法运算、立方根的应用
【点评】
本题核心考查了长方体和正方体容积公式的实际应用，同时结合了幂的运算性质与立方根的逆用。解题的关键是建立“长方体容积=正方体容积”的等量关系，在计算过程中要熟练运用幂的运算法则简化运算，将容积转化为可直接开立方的形式是快速求解棱长的技巧。
【难度系数】
0.6

1. 填空题：

| 运算名称 | 法则（文字叙述） | 公式（用字母表示） |
| --- | --- | --- |
| 同底数幂的乘法 | 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 | $a^m · a^n = a^{m+n}$ |
| 幂的乘方 | 幂的乘方，底数不变，指数相乘 | $(a^m)^n = a^{mn}$ |
| 积的乘方 | 积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘 | $(ab)^n = a^n b^n$ |
| 同底数幂的除法 | 同底数幂相除，底数不变，指数相减 | $a^m ÷ a^n = a^{m-n}$ |

1. 同底数幂的乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，例如 $a^m × a^n = a^{m+n}$。
2. 幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘，例如 $(a^m)^n = a^{m × n}$。
3. 积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，例如 $(ab)^n = a^n × b^n$。
4. 同底数幂的除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减，例如 $a^m ÷ a^n = a^{m-n}$。

2. 从同底数幂的乘法、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方运算性质中选择一个，写出其推导的过程.

选择同底数幂的乘法。
推导过程：
设 $ m $、$ n $ 为正整数，$ a $ 为任意不为 0 的数。
$ a^m × a^n = (\underbrace{a × a × ··· × a}_{m个a}) × (\underbrace{a × a × ··· × a}_{n个a}) = \underbrace{a × a × ··· × a}_{(m + n)个a} = a^{m + n} $
结论：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $ a^m · a^n = a^{m + n} $（$ m $、$ n $ 为正整数，$ a ≠ 0 $）。

【分析】
首先从四个幂的运算性质中选择基础的同底数幂的乘法进行推导。解题思路为：先明确乘方的定义，即$a^m$表示$m$个$a$相乘，接着设定好参数的取值范围，再根据乘方定义将同底数幂展开，利用乘法结合律合并相同因数的个数，最后再转化为乘方形式，从而推导出同底数幂的乘法法则。
【解析】
选择同底数幂的乘法进行推导：
1. 设定参数：设 $ m $、$ n $ 为正整数，$ a $ 为任意不为0的数。
2. 根据乘方的定义展开：
$ a^m × a^n = (\underbrace{a × a × ··· × a}_{m个a}) × (\underbrace{a × a × ··· × a}_{n个a}) $
3. 利用乘法结合律合并相同因数的个数：
$ = \underbrace{a × a × ··· × a}_{(m + n)个a} $
4. 再根据乘方的定义转化：
$ = a^{m + n} $
结论：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $ a^m · a^n = a^{m + n} $（$ m $、$ n $ 为正整数，$ a ≠ 0 $）。
【答案】
选择同底数幂的乘法，推导过程如下：
设 $ m $、$ n $ 为正整数，$ a $ 为任意不为 0 的数。
$ a^m × a^n = (\underbrace{a × a × ··· × a}_{m个a}) × (\underbrace{a × a × ··· × a}_{n个a}) = \underbrace{a × a × ··· × a}_{(m + n)个a} = a^{m + n} $
结论：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 $ a^m · a^n = a^{m + n} $（$ m $、$ n $ 为正整数，$ a ≠ 0 $）。
【知识点】
同底数幂的乘法
【点评】
本题考查对幂运算性质推导过程的理解，通过乘方定义推导同底数幂的乘法法则，能帮助学生深入理解幂运算的本质，而非单纯记忆公式，为后续学习其他幂运算性质奠定基础。
【难度系数】
0.6