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6. 若$a = \sqrt{2},b = \sqrt{7}$,则$\sqrt{\frac{14a^2}{b^2}}$的值为
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\sqrt{7}$
D.4
A.$\sqrt{2}$
B.2
C.$\sqrt{7}$
D.4
答案
B
解析
$\begin{aligned}\sqrt{\frac{14a^2}{b^2}}&=\frac{\sqrt{14a^2}}{\sqrt{b^2}}\\&=\frac{\sqrt{14}·\sqrt{a^2}}{\vert b\vert}\\&=\frac{\sqrt{14}· a}{b}&(a,b为正数)\\&=\frac{\sqrt{14}×\sqrt{2}}{\sqrt{7}}\\&=\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{7}}\\&=\sqrt{\frac{28}{7}}\\&=\sqrt{4}\\&=2\end{aligned}$
7. 若$\sqrt{(5 - a)^2} = a - 5$,则$a$的取值范围是
A.$a = 5$
B.$a ＞ 5$
C.$a ≥ 5$
D.$a ≤ 5$
A.$a = 5$
B.$a ＞ 5$
C.$a ≥ 5$
D.$a ≤ 5$
答案
C
解析
根据二次根式性质，$\sqrt{x^2} = |x|$，所以$\sqrt{(5 - a)^2} = |5 - a|$。
题目给出等式$\sqrt{(5 - a)^2} = a - 5$，即$|5 - a| = a - 5$。
根据绝对值定义，若$|5 - a| = a - 5$，则$a - 5 ≥ 0$，即$a ≥ 5$。
题目给出等式$\sqrt{(5 - a)^2} = a - 5$，即$|5 - a| = a - 5$。
根据绝对值定义，若$|5 - a| = a - 5$，则$a - 5 ≥ 0$，即$a ≥ 5$。
8. 对于任意的正数$m,n$,定义运算“※”为$m※n = \begin{cases} \sqrt{m} - \sqrt{n}(m ≥ n), \\ \sqrt{m} + \sqrt{n}(m ＜ n). \end{cases}$计算$(3※2) × (8※12)$的结果为
A.$2 - 4\sqrt{6}$
B.2
C.$2\sqrt{5}$
D.20
A.$2 - 4\sqrt{6}$
B.2
C.$2\sqrt{5}$
D.20
答案
B
解析
根据定义，先计算 $3※2$：
由于 $3 ＞ 2$，所以 $3※2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$。
再计算 $8※12$：
由于 $8 ＜ 12$，所以 $8※12 = \sqrt{8} + \sqrt{12} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$。
接下来计算 $(3※2) × (8※12)$：
$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) × (2\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$
$= \sqrt{3} × 2\sqrt{2} + \sqrt{3} × 2\sqrt{3} - \sqrt{2} × 2\sqrt{2} - \sqrt{2} × 2\sqrt{3}$
$= 2\sqrt{6} + 6 - 4 - 2\sqrt{6}$
$= 2$
由于 $3 ＞ 2$，所以 $3※2 = \sqrt{3} - \sqrt{2}$。
再计算 $8※12$：
由于 $8 ＜ 12$，所以 $8※12 = \sqrt{8} + \sqrt{12} = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{3}$。
接下来计算 $(3※2) × (8※12)$：
$(\sqrt{3} - \sqrt{2}) × (2\sqrt{2} + 2\sqrt{3})$
$= \sqrt{3} × 2\sqrt{2} + \sqrt{3} × 2\sqrt{3} - \sqrt{2} × 2\sqrt{2} - \sqrt{2} × 2\sqrt{3}$
$= 2\sqrt{6} + 6 - 4 - 2\sqrt{6}$
$= 2$
9. 计算:$\sqrt{12} + \sqrt{27} =$.
答案
$\sqrt{12} + \sqrt{27}$
$= \sqrt{4 × 3} + \sqrt{9 × 3}$
$= \sqrt{4} × \sqrt{3} + \sqrt{9} × \sqrt{3}$
$= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$
$= 5\sqrt{3}$
$= \sqrt{4 × 3} + \sqrt{9 × 3}$
$= \sqrt{4} × \sqrt{3} + \sqrt{9} × \sqrt{3}$
$= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}$
$= 5\sqrt{3}$
10. 计算:$\sqrt{(-2)^2} =$.
答案
$\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2$
2
2
11. 若$\sqrt{a + 2} + |b - 1| = 0$,则$(a + b)^{2025} =$.
答案
因为$\sqrt{a + 2} ≥ 0$，$|b - 1| ≥ 0$，且$\sqrt{a + 2} + |b - 1| = 0$，
所以$\sqrt{a + 2} = 0$，$|b - 1| = 0$，
即$a + 2 = 0$，$b - 1 = 0$，
解得$a = -2$，$b = 1$，
所以$(a + b)^{2025} = (-2 + 1)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
故答案为$-1$。
所以$\sqrt{a + 2} = 0$，$|b - 1| = 0$，
即$a + 2 = 0$，$b - 1 = 0$，
解得$a = -2$，$b = 1$，
所以$(a + b)^{2025} = (-2 + 1)^{2025} = (-1)^{2025} = -1$。
故答案为$-1$。
12. 已知$\sqrt{6} \approx 2.449$,那么$\sqrt{\frac{3}{2}} \approx$.(结果保留两位小数)
答案
$\sqrt{\frac{3}{2}} = \sqrt{\frac{6}{4}} = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{6}}{2} \approx \frac{2.449}{2} \approx 1.224 5\approx1.22$（保留两位小数）。
故答案为$1.22$。
故答案为$1.22$。
13. 若计算$\sqrt{12} × m$的结果为正整数,则无理数$m$的值可以是.(写出一个即可)
答案
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
解析：$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，要使$2\sqrt{3} × m$为正整数，且$m$为无理数，可令$m = \sqrt{3}$，则$2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 × 3 = 6$，结果为正整数。
解析：$\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$，要使$2\sqrt{3} × m$为正整数，且$m$为无理数，可令$m = \sqrt{3}$，则$2\sqrt{3} × \sqrt{3} = 2 × 3 = 6$，结果为正整数。
14. 已知$\sqrt{a}(a - \sqrt{3}) ＜ 0,b = 2 - a$,则$b$的取值范围是.
答案
由二次根式有意义的条件得：$a ≥ 0$。
因为$\sqrt{a}(a - \sqrt{3}) ＜ 0$，且$\sqrt{a} ≥ 0$，所以$\sqrt{a} ＞ 0$（若$\sqrt{a}=0$，则乘积为0，不满足不等式），此时$a - \sqrt{3} ＜ 0$。
由$\sqrt{a} ＞ 0$得$a ＞ 0$；由$a - \sqrt{3} ＜ 0$得$a ＜ \sqrt{3}$。故$0 ＜ a ＜ \sqrt{3}$。
因为$b = 2 - a$，所以$-\sqrt{3} ＜ -a ＜ 0$，两边加2得$2 - \sqrt{3} ＜ 2 - a ＜ 2$，即$2 - \sqrt{3} ＜ b ＜ 2$。
$2 - \sqrt{3} ＜ b ＜ 2$
因为$\sqrt{a}(a - \sqrt{3}) ＜ 0$，且$\sqrt{a} ≥ 0$，所以$\sqrt{a} ＞ 0$（若$\sqrt{a}=0$，则乘积为0，不满足不等式），此时$a - \sqrt{3} ＜ 0$。
由$\sqrt{a} ＞ 0$得$a ＞ 0$；由$a - \sqrt{3} ＜ 0$得$a ＜ \sqrt{3}$。故$0 ＜ a ＜ \sqrt{3}$。
因为$b = 2 - a$，所以$-\sqrt{3} ＜ -a ＜ 0$，两边加2得$2 - \sqrt{3} ＜ 2 - a ＜ 2$，即$2 - \sqrt{3} ＜ b ＜ 2$。
$2 - \sqrt{3} ＜ b ＜ 2$
15. (本小题 6 分)计算:$3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{27} - \sqrt{2} × \sqrt{6}$.
答案
$3\sqrt{\frac{1}{3}} + \sqrt{27} - \sqrt{2} × \sqrt{6}$
$=3×\frac{\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{12}$
$=\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
$=3×\frac{\sqrt{3}}{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{12}$
$=\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
