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初步认识筝形后,实践小组动手制作了一个“筝形功能器”.如图,在筝形$ABCD$中,$AB=AD$,$CB=CD$.
【操作应用】(1)如图$1$,将“筝形功能器”上的点$A$与$∠ PRQ$的顶点$R$重合,$AB,AD$分别放置在角的两边$RP,RQ$上,并过点$A,C$画射线$AE$.试说明:$AE$是$∠ PRQ$的平分线.
【实践拓展】(2)实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图$2$,在仪器上的点$A$处拴一条线绳,线绳另一端挂一个铅锤,仪器上的点$B,D$紧贴门框上方,观察发现线绳恰好经过点$C$,即判断门框是水平的.实践小组的判断正确吗?请说明理由.
19. 如图$1$,在长方形$ABCD$中,$AB=CD=6\mathrm{c}\mathrm{m}$,$BC=10\mathrm{c}\mathrm{m}$,点$P$从点$B$出发,以$2\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$的速度沿$BC$向点$C$运动,设点$P$的运动时间为$t\mathrm{s}$,且$t≤ 5$.
(1)$PC=$
(2)如图$2$,当点$P$从点$B$开始运动的同时,点$Q$从点$C$出发,以$v\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$的速度沿$CD$向点$D$运动,是否存在这样的$v$值,使得以点$A,B,P$为顶点的三角形与以点$P,Q,C$为顶点的三角形全等?若存在,请求出$v$的值;若不存在,请说明理由.
【操作应用】(1)如图$1$,将“筝形功能器”上的点$A$与$∠ PRQ$的顶点$R$重合,$AB,AD$分别放置在角的两边$RP,RQ$上,并过点$A,C$画射线$AE$.试说明:$AE$是$∠ PRQ$的平分线.
【实践拓展】(2)实践小组尝试使用“筝形功能器”检测教室门框是否水平.如图$2$,在仪器上的点$A$处拴一条线绳,线绳另一端挂一个铅锤,仪器上的点$B,D$紧贴门框上方,观察发现线绳恰好经过点$C$,即判断门框是水平的.实践小组的判断正确吗?请说明理由.
19. 如图$1$,在长方形$ABCD$中,$AB=CD=6\mathrm{c}\mathrm{m}$,$BC=10\mathrm{c}\mathrm{m}$,点$P$从点$B$出发,以$2\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$的速度沿$BC$向点$C$运动,设点$P$的运动时间为$t\mathrm{s}$,且$t≤ 5$.
(1)$PC=$
$(10-2t)cm$
(用含$t$的代数式表示).(2)如图$2$,当点$P$从点$B$开始运动的同时,点$Q$从点$C$出发,以$v\mathrm{c}\mathrm{m}/\mathrm{s}$的速度沿$CD$向点$D$运动,是否存在这样的$v$值,使得以点$A,B,P$为顶点的三角形与以点$P,Q,C$为顶点的三角形全等?若存在,请求出$v$的值;若不存在,请说明理由.
答案
18. 解:(1)在$△ABC$和$△ADC$中,$\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ BC=DC,\\ AC=AC,\end{array} \therefore △ABC≌ △ADC(SSS).\therefore ∠BAC=∠DAC.\therefore AE$是$∠PRQ$的平分线. (2)实践小组的判断正确. 理由如下:$\because AB=AD,\therefore △ABD$是等腰三角形. 由(1)知,AC 平分$∠BAD,\therefore AC⊥BD.\because AC$是铅垂线,$\therefore BD$是水平的.$\therefore$门框是水平的.$\therefore$实践小组的判断正确.
19. 解:(1)$(10-2t)cm$ (2)存在. 分两种情况讨论:①当$BP=CQ,AB=PC$时,$△ABP≌ △PCQ.\because AB=6,\therefore PC=6.\therefore BP=10-6=4$,即$2t=4$,解得$t=2.\because CQ=BP=4,\therefore 2v=4$,解得$v=2$;②当$BA=CQ,PB=PC$时,$△ABP≌ △QCP.\therefore BP=PC=\frac {1}{2}BC=5.\therefore 2t=5$,解得$t=2.5.\because CQ=BA=6,\therefore 2.5v=6$,解得$v=2.4$. 综上所述,当$v$的值为 2.4 或 2 时,以 A,B,P 为顶点的三角形与以 P,Q,C 为顶点的三角形全等.
19. 解:(1)$(10-2t)cm$ (2)存在. 分两种情况讨论:①当$BP=CQ,AB=PC$时,$△ABP≌ △PCQ.\because AB=6,\therefore PC=6.\therefore BP=10-6=4$,即$2t=4$,解得$t=2.\because CQ=BP=4,\therefore 2v=4$,解得$v=2$;②当$BA=CQ,PB=PC$时,$△ABP≌ △QCP.\therefore BP=PC=\frac {1}{2}BC=5.\therefore 2t=5$,解得$t=2.5.\because CQ=BA=6,\therefore 2.5v=6$,解得$v=2.4$. 综上所述,当$v$的值为 2.4 或 2 时,以 A,B,P 为顶点的三角形与以 P,Q,C 为顶点的三角形全等.
