18. 我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例.如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是$1$，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了$(a+b)^{n}$（$n$为非负整数）的展开式（按$a$的次数由大到小的顺序排列）的系数规律.例如，在三角形中第三行的三个数$1,2,1$，恰好对应$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$展开式中的系数；第四行的四个数$1,3,3,1$，恰好对应$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$展开式中的系数.

(1)根据上面的规律，写出$(a+b)^{5}$的展开式.
(2)利用上面的规律计算：$2^{5}-5×2^{4}+10×2^{3}-10×2^{2}+5×2-1$.

解:(1)$(a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}.$
(2)原式$=2^{5}+5×2^{4}×(-1)+10×2^{3}×(-1)^{2}+10×2^{2}×(-1)^{3}+5×2×(-1)^{4}+(-1)^{5}=(2-1)^{5}=1.$

19. 【发现问题】
数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解数学问题.

例如：通过求图 1 阴影部分的面积，可以得到乘法公式$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$.
请解答下列问题：
(1)请写出通过求图 2 阴影部分的面积能解释的乘法公式：.
(2)用 4 个全等的、长和宽分别为$a,b$的长方形拼摆成如图 3 所示的正方形，请你观察求图 3 中阴影部分的面积蕴含的相等关系，写出代数式$(a+b)^{2}$，$(a-b)^{2}$，$ab$之间的等量关系式：.
【自主探索】
(3)小明用图 4 中$x$张边长为$a$的正方形纸片，$y$张边长为$b$的正方形纸片，$z$张宽为$a$、长为$b$的长方形纸片拼出一个面积为$(3a+2b)(2a+3b)$的长方形，请在下面方框中画出图形，并求$x+z$的值.

【拓展迁移】
(4)事实上，通过计算几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式，图 5 表示的是一个棱长为$a+b$的正方体，请你根据图 5 求正方体的体积，写出一个代数恒等式：.

解:(1)$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$ (2)$(a-b)^{2}=(a+b)^{2}-4ab$ (3)图略. 由图可知,$x=2×3=6,z=3×3+2×2=13,\therefore x+z=19$. (4)$(a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}$