1. 已知一些两位数相乘的算式:$62×11,34×11,54×11$.利用这些算式探究两位数乘法中可以简化运算的特殊情形.
(1)观察已知算式,并用文字描述它们的共同特征.
(2)计算以上三个算式.观察计算的结果,你能发现不经过乘法运算就可以快速、直接地写出积的规律吗?请用文字描述这个规律.
(3)请你说明发现的规律的正确性.

解:(1)这3个算式共同特征是一个两位数与11相乘.
(2)$62×11=682$,$34×11=374$,$54×11=594$.规律:在两位数乘法中,如果有一个因数为11,得数的百位上的数是这两个因数最高位上的积,十位上的数是第一个因数各个位数的和(满10进1),个位上的数是这两个因数个位上数的积.如:$54×11=594$.
(3)设一个两位数为$\overline {ab}$,另一个数为11,则它们的积为$\overline {ab}×11=11(10a + b)=110a + 11b=100a + 10a + 10b + b=100a + 10(a + b)+b$.

2. 问题:探索等腰三角形一腰上的高与底边所成的角与顶角的关系.
(1)为了解决这个问题,我们可从特殊情形入手:
①如图1,在$△ ABC$中,$AB=AC,∠ A=40°$,BD 是边 AC 上的高,则$∠ DBC=$;
②如图2,在$△ ABC$中,$AB=AC,∠ A=90°$,BD 是边 AC 上的高,则$∠ DBC=$;
③如图3,在$△ ABC$中,$AB=AC,∠ A=120°$,BD 是边 AC 上的高,则$∠ DBC=$.
(2)猜想:$∠ A$与$∠ DBC$的关系是.
(3)对于上述猜想,请你作出说明.

解:(1)①$20°$ ②$45°$ ③$60°$ (2)$∠DBC=\frac {1}{2}∠A$ (3)在$△ABC$中,$AB = AC$,$BD$是边$AC$上的高,那么$∠ABC = ∠ACB=\frac {1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac {1}{2}∠A$.在$Rt△BDC$中,$∠DBC=90°-∠ACB=90°-(90°-\frac {1}{2}∠A)=\frac {1}{2}∠A$.

3. 为了解决一些较为复杂的数学问题,我们常常采用从特殊到一般的思想,先从特殊的情形入手,从中找到解决问题的方法.
已知:在四边形 ABCD 中,AC 平分$∠ BAD$,$∠ B+∠ D=180°$.
(1)如图1,当$∠ B=90°$时,试说明:$CD=CB$.
(2)如图2,当$∠ B＜90°$时,试说明:$CD=CB$.

解:(1)$\because ∠B + ∠D = 180°$,$∠B = 90°$,$\therefore ∠D = 90°$.$\therefore ∠B = ∠D$.$\because AC$平分$∠BAD$,$\therefore ∠DAC = ∠BAC$.又$\because AC = AC$,$\therefore △ADC ≌ △ABC(AAS)$.$\therefore CD = CB$.
(2)过点$C$作$CE⊥AB$于点$E$,$CF⊥AD$于点$F$.$\because ∠B + ∠ADC = 180°$,$∠ADC + ∠FDC = 180°$,$\therefore ∠B = ∠FDC$.同(1)可知,$CF = CE$,又$\because ∠F = ∠CEB = 90°$,$\therefore △CDF ≌ △CBE(AAS)$.$\therefore CD = CB$.
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