例 1 先化简，再求值：$(\dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{1}{x + 1}) ÷ \dfrac{x}{x^{2} - 1}$，其中$x = - 2$。

解题步骤：
1. 通分计算括号内的分式减法
$ \frac{3}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{3(x + 1) - (x - 1)}{(x - 1)(x + 1)} = \frac{3x + 3 - x + 1}{x^2 - 1} = \frac{2x + 4}{x^2 - 1} $
2. 将除法转化为乘法并化简
$ ( \frac{2x + 4}{x^2 - 1} ) ÷ \frac{x}{x^2 - 1} = \frac{2x + 4}{x^2 - 1} · \frac{x^2 - 1}{x} = \frac{2(x + 2)}{x} $
3. 代入 $ x = -2 $ 求值
$ \frac{2(-2 + 2)}{-2} = \frac{2 × 0}{-2} = 0 $
最终结论：
$ 0 $

例 2 解下列方程：
(1)$\dfrac{2x}{x - 2} = 1 + \dfrac{1}{2 - x}$；
(2)$\dfrac{4}{x^{2} - 2x} = \dfrac{2}{x - 2} - \dfrac{1}{x}$。

(1)
方程$\frac{2x}{x - 2}=1+\frac{1}{2 - x}$两边同乘$(x - 2)$得：
$2x=(x - 2)-1$
去括号得：
$2x=x - 2 - 1$
移项得：
$2x-x=-2 - 1$
合并同类项得：
$x=-3$
检验：当$x = - 3$时，$x - 2=-3 - 2=-5≠0$
所以$x = - 3$是原分式方程的解。
(2)
方程$\frac{4}{x^{2}-2x}=\frac{2}{x - 2}-\frac{1}{x}$中，$x^{2}-2x=x(x - 2)$
方程两边同乘$x(x - 2)$得：
$4 = 2x-(x - 2)$
去括号得：
$4=2x - x + 2$
移项得：
$2x - x=4 - 2$
合并同类项得：
$x = 2$
检验：当$x = 2$时，$x(x - 2)=2×(2 - 2)=0$
所以$x = 2$是增根，原分式方程无解。

例 3 某列车计划提速$v$km/h. 提速前列车行驶$s$km，若行驶时间相同，则提速后列车比提速前多行驶 50 km，提速前该列车的平均速度为多少？

设提速前该列车的平均速度为$x$ km/h，则提速后的速度为$(x + v)$ km/h。
根据题意，提速前行驶$s$ km的时间与提速后行驶$(s + 50)$ km的时间相同，可得：
$\frac{s}{x} = \frac{s + 50}{x + v}$
交叉相乘得：
$s(x + v) = x(s + 50)$
展开并化简：
$sx + sv = sx + 50x$
$sv = 50x$
解得：
$x = \frac{sv}{50}$
答：提速前该列车的平均速度为$\frac{sv}{50}$ km/h。

(1)不改变分式的值，在括号内填空：$\dfrac{c}{0.2ab} = \dfrac{(\quad)}{2ab^{2}}$，$\dfrac{x}{(1 - y)^{2}} = \dfrac{(\quad)}{(y - 1)^{2}}$；

1.第一个分式：
要使$\dfrac{c}{0.2ab}=\dfrac{(\quad)}{2ab^{2}}$成立，
分母从$0.2ab$变为$2ab^{2}$，需要乘以$10b$，
根据分式的基本性质，分子也需要乘以$10b$，
即$c×10b = 10bc$，
所以括号内应填$10bc$。
第二个分式：
因为$(1 - y)^{2}=(y - 1)^{2}$，
要使$\dfrac{x}{(1 - y)^{2}}=\dfrac{(\quad)}{(y - 1)^{2}}$成立，
根据分式的基本性质，分子不变，
所以括号内应填$x$。
故答案为：$10bc$；$x$。

(2)直接写出计算结果：$\dfrac{x + y}{x - 2} + \dfrac{x - y}{2 - x} =$，$\dfrac{a^{2}}{b} ÷ \dfrac{a}{b^{2}} × \dfrac{b}{a} =$；

第一空：
$\begin{aligned}&\dfrac{x + y}{x - 2} + \dfrac{x - y}{2 - x}\\=&\dfrac{x + y}{x - 2} - \dfrac{x - y}{x - 2}\\=&\dfrac{(x + y) - (x - y)}{x - 2}\\=&\dfrac{x + y - x + y}{x - 2}\\=&\dfrac{2y}{x - 2}\end{aligned}$
第二空：
$\begin{aligned}&\dfrac{a^{2}}{b} ÷ \dfrac{a}{b^{2}} × \dfrac{b}{a}\\=&\dfrac{a^{2}}{b} × \dfrac{b^{2}}{a} × \dfrac{b}{a}\\=&\dfrac{a^{2} · b^{2} · b}{b · a · a}\\=&\dfrac{a^{2}b^{3}}{a^{2}b}\\=&b^{2}\end{aligned}$
$\dfrac{2y}{x - 2}$，$b^{2}$

(3)若式子$\dfrac{x}{1 - x}$在实数范围内有意义，则$x$的取值范围是。

$x ≠ 1$

要使式子$\dfrac{x}{1 - x}$在实数范围内有意义，分母不能为$0$，即：
$1 - x ≠ 0$
解得：$x ≠ 1$
故$x$的取值范围是$x ≠ 1$。

(1)已知分式$\dfrac{|x| - 2}{x - 2}$的值为 0，则$x$的值为()。

A.0
B.2
C.$- 2$
D.2 或$- 2$

C

要使分式$\frac{|x| - 2}{x - 2}$的值为0，需满足分子为0且分母不为0。
1. 分子为0：$|x| - 2 = 0$，即$|x| = 2$，解得$x = 2$或$x = -2$。
2. 分母不为0：$x - 2 ≠ 0$，即$x ≠ 2$。
综合以上，只有$x = -2$满足条件。