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3. 如图，在五边形 $ ABCDE $ 中，$ AB // ED $，$ ∠1 $，$ ∠2 $，$ ∠3 $ 分别是 $ ∠ABC $，$ ∠BCD $，$ ∠CDE $ 的邻补角，则 $ ∠1 + ∠2 + ∠3 $ 的度数为().
A.$ 150° $
B.$ 180° $
C.$ 200° $
D.$ 210° $
A.$ 150° $
B.$ 180° $
C.$ 200° $
D.$ 210° $
答案
B
解析
1. 由$AB// ED$，根据平行线的性质，得$∠ A + ∠ E = 180°$；
2. 五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此$∠ ABC + ∠ BCD + ∠ CDE = 540° - (∠ A + ∠ E)=540°-180°=360°$；
3. 根据邻补角定义，$∠ 1=180°-∠ ABC$，$∠ 2=180°-∠ BCD$，$∠ 3=180°-∠ CDE$；
4. 计算得$∠ 1+∠ 2+∠ 3=3×180° - (∠ ABC+∠ BCD+∠ CDE)=540°-360°=180°$。
2. 五边形内角和为$(5-2)×180°=540°$，因此$∠ ABC + ∠ BCD + ∠ CDE = 540° - (∠ A + ∠ E)=540°-180°=360°$；
3. 根据邻补角定义，$∠ 1=180°-∠ ABC$，$∠ 2=180°-∠ BCD$，$∠ 3=180°-∠ CDE$；
4. 计算得$∠ 1+∠ 2+∠ 3=3×180° - (∠ ABC+∠ BCD+∠ CDE)=540°-360°=180°$。
4. 李明设计了以下四种正多边形瓷砖，用同一种瓷砖可以平面镶嵌的是().
A.①②④
B.②③④
C.①③④
D.①②③
A.①②④
B.②③④
C.①③④
D.①②③
答案
A
解析
根据平面镶嵌的条件：正多边形的内角需能整除360°。
1. 正三角形内角：$(3-2)×180°÷3=60°$，$360°÷60°=6$，可整除，能镶嵌；
2. 正方形内角：$(4-2)×180°÷4=90°$，$360°÷90°=4$，可整除，能镶嵌；
3. 正五边形内角：$(5-2)×180°÷5=108°$，$360°÷108°$不能整除，不能镶嵌；
4. 正六边形内角：$(6-2)×180°÷6=120°$，$360°÷120°=3$，可整除，能镶嵌。
综上，能单独平面镶嵌的是①②④。
1. 正三角形内角：$(3-2)×180°÷3=60°$，$360°÷60°=6$，可整除，能镶嵌；
2. 正方形内角：$(4-2)×180°÷4=90°$，$360°÷90°=4$，可整除，能镶嵌；
3. 正五边形内角：$(5-2)×180°÷5=108°$，$360°÷108°$不能整除，不能镶嵌；
4. 正六边形内角：$(6-2)×180°÷6=120°$，$360°÷120°=3$，可整除，能镶嵌。
综上，能单独平面镶嵌的是①②④。
5. 如图，游戏“回到起点”规定：从起点走五段相等直路之后回到起点，要求每走完一段直路后向右偏行. 为了成功回到起点，我们可以每走完一段直路后，沿向右偏度方向行走.
答案
72
解析
从起点走五段相等直路回到起点，形成五边形，根据多边形外角和为360°，且每次右偏角度相等，可得每段直路后向右偏的角度为360°÷5=72°。
6. 一个多边形的每一个外角都等于 $ 30° $，它是边形；内角和为 $ 5040° $ 的多边形是边形.
答案
12；30
解析
1. 多边形外角和为$360°$，已知每个外角为$30°$，则边数为$360°÷30°=12$，故该多边形是12边形；2. 根据多边形内角和公式$(n-2)×180°=5040°$，解得$n-2=5040÷180=28$，$n=30$，故该多边形是30边形。
7. 如果一个多边形的内角和是外角和的 2 倍，那么该多边形的边数是.
答案
6
解析
设该多边形的边数为$n$。多边形的外角和为$360°$，内角和公式为$(n-2)×180°$。根据题意列方程：$(n-2)×180°=2×360°$，解得$n-2=4$，$n=6$。
8. 从 $ n $ 边形的一个顶点出发，一共可以引条对角线，$ n $ 边形共有条对角线.
答案
$ n - 3 $；$ \frac{n(n - 3)}{2} $
解析
1. 从n边形的一个顶点出发，因不能与自身及相邻的2个顶点连接对角线，所以可引的对角线条数为 $ n - 3 $ 条；
2. 每个顶点能引 $ n - 3 $ 条对角线，n个顶点共 $ n(n - 3) $ 条，但每条对角线被2个顶点重复计算一次，因此n边形总对角线条数为 $ \frac{n(n - 3)}{2} $ 条。
2. 每个顶点能引 $ n - 3 $ 条对角线，n个顶点共 $ n(n - 3) $ 条，但每条对角线被2个顶点重复计算一次，因此n边形总对角线条数为 $ \frac{n(n - 3)}{2} $ 条。
9. 用一条足够长的长方形纸条打一个结（如图①所示），然后轻轻拉紧，压平，就可以得到如图②所示的正五边形 $ ABCDE $.
(1) 求 $ ∠BAC $ 的度数.
(2) 在正五边形 $ ABCDE $ 中，求证 $ AC // DE $.
(1) 求 $ ∠BAC $ 的度数.
(2) 在正五边形 $ ABCDE $ 中，求证 $ AC // DE $.
答案
(1) 解：
正五边形的内角和为：$(5-2)×180°=540°$，
每个内角的度数为：$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=108°$。
因为$AB=BC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，
$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
(2) 证明：
由(1)知$∠ BCA=36°$，且正五边形每个内角为$108°$，故$∠ BCD=∠ CDE=108°$，
则$∠ ACD=∠ BCD-∠ BCA=108°-36°=72°$，
所以$∠ ACD+∠ CDE=72°+108°=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AC// DE$。
正五边形的内角和为：$(5-2)×180°=540°$，
每个内角的度数为：$540°÷5=108°$，即$∠ ABC=108°$。
因为$AB=BC$，所以$△ ABC$是等腰三角形，
$∠ BAC=∠ BCA=\frac{180°-∠ ABC}{2}=\frac{180°-108°}{2}=36°$。
(2) 证明：
由(1)知$∠ BCA=36°$，且正五边形每个内角为$108°$，故$∠ BCD=∠ CDE=108°$，
则$∠ ACD=∠ BCD-∠ BCA=108°-36°=72°$，
所以$∠ ACD+∠ CDE=72°+108°=180°$，
根据“同旁内角互补，两直线平行”，可得$AC// DE$。
