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7. 如图，$ M $ 是边长为 2 的等边三角形 $ ABC $ 的边 $ AB $ 的中点，$ P $ 是边 $ BC $ 上的任意一点，求 $ PA + PM $ 的最小值.
答案
解：作点$M$关于$BC$的对称点$M'$，连接$AM'$，交$BC$于点$P$，连接$PM$，此时$PA+PM$的值最小，且$PA+PM=AM'$。
∵$△ ABC$是边长为2的等边三角形，$M$是$AB$的中点，
∴$BM=1$，$∠ ABC=60°$，
由对称性质得：$BM'=BM=1$，$∠ CBM'=∠ CBM=60°$，
∴$∠ ABM'=∠ ABC+∠ CBM'=120°$，
过点$M'$作$M'H⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$H$，
则$∠ M'BH=180°-∠ ABM'=60°$，
在$Rt△ BM'H$中，
$BH=BM'·\cos60°=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
$M'H=BM'·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$AB=2$，
∴$AH=AB+BH=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，
在$Rt△ AHM'$中，由勾股定理得：
$AM'=\sqrt{AH^2 + M'H^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{7}$，
即$PA+PM$的最小值为$\sqrt{7}$。
∵$△ ABC$是边长为2的等边三角形，$M$是$AB$的中点，
∴$BM=1$，$∠ ABC=60°$，
由对称性质得：$BM'=BM=1$，$∠ CBM'=∠ CBM=60°$，
∴$∠ ABM'=∠ ABC+∠ CBM'=120°$，
过点$M'$作$M'H⊥ AB$，交$AB$的延长线于点$H$，
则$∠ M'BH=180°-∠ ABM'=60°$，
在$Rt△ BM'H$中，
$BH=BM'·\cos60°=1×\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，
$M'H=BM'·\sin60°=1×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵$AB=2$，
∴$AH=AB+BH=2+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，
在$Rt△ AHM'$中，由勾股定理得：
$AM'=\sqrt{AH^2 + M'H^2}=\sqrt{(\frac{5}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2}=\sqrt{\frac{25}{4}+\frac{3}{4}}=\sqrt{7}$，
即$PA+PM$的最小值为$\sqrt{7}$。
8. [模型建立]“数形结合”和“建模思想”是数学中两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题.
例 求代数式 $ \sqrt{x^{2} + 3^{2}} + \sqrt{(12 - x)^{2} + 2^{2}} $ 的最小值.
分析：$ \sqrt{x^{2} + 3^{2}} $ 和 $ \sqrt{(12 - x)^{2} + 2^{2}} $ 是勾股定理的形式，$ \sqrt{x^{2} + 3^{2}} $ 是直角边分别是 $ x $ 和 3 的直角三角形的斜边，$ \sqrt{(12 - x)^{2} + 2^{2}} $ 是直角边分别是 $ 12 - x $ 和 2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形 $ △ ABC $ 和 $ △ DEF $，并使直角边 $ BC $ 和 $ EF $ 在同一直线上(图①)，向右平移 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 使点 $ B $ 和 $ E $ 重合(图②)，这时 $ CF = x + 12 - x = 12 $，$ AC = 3 $，$ DF = 2 $，问题就变成“点 $ B $ 在线段 $ CF $ 的何处时，$ AB + DB $ 最短？”根据两点间线段最短，得到线段 $ AD $ 就是它们的最小值.
[模型应用]
(1) 代数式 $ \sqrt{x^{2} + 3^{2}} + \sqrt{(12 - x)^{2} + 2^{2}} $ 的最小值为.
(2) 利用图③，求解代数式 $ \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{(5 - x)^{2} + 1} $ 的最小值为.
[模型拓展]
(3) 已知正数 $ x $ 满足 $ \sqrt{36 - x^{2}} + \sqrt{64 - x^{2}} = 10 $，求 $ x $ 的值.
例 求代数式 $ \sqrt{x^{2} + 3^{2}} + \sqrt{(12 - x)^{2} + 2^{2}} $ 的最小值.
分析：$ \sqrt{x^{2} + 3^{2}} $ 和 $ \sqrt{(12 - x)^{2} + 2^{2}} $ 是勾股定理的形式，$ \sqrt{x^{2} + 3^{2}} $ 是直角边分别是 $ x $ 和 3 的直角三角形的斜边，$ \sqrt{(12 - x)^{2} + 2^{2}} $ 是直角边分别是 $ 12 - x $ 和 2 的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角三角形 $ △ ABC $ 和 $ △ DEF $，并使直角边 $ BC $ 和 $ EF $ 在同一直线上(图①)，向右平移 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 使点 $ B $ 和 $ E $ 重合(图②)，这时 $ CF = x + 12 - x = 12 $，$ AC = 3 $，$ DF = 2 $，问题就变成“点 $ B $ 在线段 $ CF $ 的何处时，$ AB + DB $ 最短？”根据两点间线段最短，得到线段 $ AD $ 就是它们的最小值.
[模型应用]
(1) 代数式 $ \sqrt{x^{2} + 3^{2}} + \sqrt{(12 - x)^{2} + 2^{2}} $ 的最小值为.
(2) 利用图③，求解代数式 $ \sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{(5 - x)^{2} + 1} $ 的最小值为.
[模型拓展]
(3) 已知正数 $ x $ 满足 $ \sqrt{36 - x^{2}} + \sqrt{64 - x^{2}} = 10 $，求 $ x $ 的值.
答案
解：
(1) 构造如图②所示图形，过点$ A $作$ AH ⊥ DF $的延长线于点$ H $，
则$ AH=12 $，$ DH=3+2=5 $，
由勾股定理得：$ AD=\sqrt{12^2+5^2}=13 $，
故代数式的最小值为$\boldsymbol{13}$。
(2) 构造如图③所示图形，$ AC=2 $，$ DF=1 $，$ CF=5 $，过点$ A $作$ AH ⊥ DF $的延长线于点$ H $，
则$ AH=5 $，$ DH=2+1=3 $，
由勾股定理得：$ AD=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34} $，
故代数式的最小值为$\boldsymbol{\sqrt{34}}$。
(3) 设$ a = \sqrt{36 - x^2} $，$ b = \sqrt{64 - x^2} $，则：
$\begin{cases}a + b = 10 \\b^2 - a^2 = (64 - x^2) - (36 - x^2) = 28\end{cases}$
由平方差公式得：$(b - a)(b + a) = 28$，
将$ a + b = 10 $代入得：$ 10(b - a) = 28 $，解得$ b - a = \frac{14}{5} $。
联立$\begin{cases}a + b = 10 \\ b - a = \frac{14}{5}\end{cases}$，
两式相加得：$ 2b = 10 + \frac{14}{5} = \frac{64}{5} $，解得$ b = \frac{32}{5} $。
因为$ b = \sqrt{64 - x^2} $，所以$ (\frac{32}{5})^2 = 64 - x^2 $，
即$ \frac{1024}{25} = \frac{1600}{25} - x^2 $，
解得$ x^2 = \frac{576}{25} $，
又因为$ x $是正数，所以$ x = \frac{24}{5} $。
(1) 构造如图②所示图形，过点$ A $作$ AH ⊥ DF $的延长线于点$ H $，
则$ AH=12 $，$ DH=3+2=5 $，
由勾股定理得：$ AD=\sqrt{12^2+5^2}=13 $，
故代数式的最小值为$\boldsymbol{13}$。
(2) 构造如图③所示图形，$ AC=2 $，$ DF=1 $，$ CF=5 $，过点$ A $作$ AH ⊥ DF $的延长线于点$ H $，
则$ AH=5 $，$ DH=2+1=3 $，
由勾股定理得：$ AD=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34} $，
故代数式的最小值为$\boldsymbol{\sqrt{34}}$。
(3) 设$ a = \sqrt{36 - x^2} $，$ b = \sqrt{64 - x^2} $，则：
$\begin{cases}a + b = 10 \\b^2 - a^2 = (64 - x^2) - (36 - x^2) = 28\end{cases}$
由平方差公式得：$(b - a)(b + a) = 28$，
将$ a + b = 10 $代入得：$ 10(b - a) = 28 $，解得$ b - a = \frac{14}{5} $。
联立$\begin{cases}a + b = 10 \\ b - a = \frac{14}{5}\end{cases}$，
两式相加得：$ 2b = 10 + \frac{14}{5} = \frac{64}{5} $，解得$ b = \frac{32}{5} $。
因为$ b = \sqrt{64 - x^2} $，所以$ (\frac{32}{5})^2 = 64 - x^2 $，
即$ \frac{1024}{25} = \frac{1600}{25} - x^2 $，
解得$ x^2 = \frac{576}{25} $，
又因为$ x $是正数，所以$ x = \frac{24}{5} $。
