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1. 如图，长方体的长、宽、高分别是 3，4，2，一只蚂蚁要沿着长方体的外表面从顶点 $ A $ 处爬到顶点 $ B $ 处，最短路径长为.
答案
$\sqrt{41}$
解析
要找到蚂蚁从A到B的最短路径，需将长方体外表面展开，分三种情况计算：
① 展开后长方形长为$3+4=7$，宽为2，路径长为$\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$；
② 展开后长方形长为$4+2=6$，宽为3，路径长为$\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}$；
③ 展开后长方形长为$3+2=5$，宽为4，路径长为$\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$；
比较得$\sqrt{41}＜\sqrt{45}＜\sqrt{53}$，故最短路径长为$\sqrt{41}$。
① 展开后长方形长为$3+4=7$，宽为2，路径长为$\sqrt{7^2+2^2}=\sqrt{53}$；
② 展开后长方形长为$4+2=6$，宽为3，路径长为$\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}$；
③ 展开后长方形长为$3+2=5$，宽为4，路径长为$\sqrt{5^2+4^2}=\sqrt{41}$；
比较得$\sqrt{41}＜\sqrt{45}＜\sqrt{53}$，故最短路径长为$\sqrt{41}$。
2. 如图，一圆柱的底面周长为 $ 24 \, \mathrm{cm} $，高 $ AB $ 为 $ 5 \, \mathrm{cm} $，$ BC $ 为上底面的直径.一只蚂蚁从点 $ A $ 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 $ C $.请直接写出从点 $ A $ 到点 $ C $ 的最短路径长是.
答案
$13\mathrm{cm}$
解析
将圆柱侧面展开为矩形，底面周长为24cm，故矩形长的一半为$24÷2=12\mathrm{cm}$，圆柱高$AB=5\mathrm{cm}$为矩形的宽。点A到点C的最短路径为直角三角形的斜边，由勾股定理得：$\sqrt{12^2+5^2}=\sqrt{169}=13\mathrm{cm}$。
3. 如图，圆柱形玻璃杯高为 $ 14 \, \mathrm{cm} $，底面周长为 $ 32 \, \mathrm{cm} $，在杯内壁离杯底 $ 5 \, \mathrm{cm} $ 的点 $ B $ 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 $ 3 \, \mathrm{cm} $ 且与蜂蜜相对的点 $ A $ 处，则蚂蚁从外壁 $ A $ 处到内壁 $ B $ 处的最短距离是 $ \mathrm{cm} $.(杯壁厚度不计)
答案
20
解析
将圆柱侧面展开，作点A关于杯上沿的对称点A'，连接A'B，此线段长度即为蚂蚁爬行的最短距离。
1. 计算水平距离：底面周长为32cm，故A'与B的水平距离为$32÷2=16\,\mathrm{cm}$；
2. 计算垂直距离：杯高14cm，A离上沿3cm，B离杯底5cm，故垂直距离为$3+(14-5)=12\,\mathrm{cm}$；
3. 由勾股定理得：$A'B=\sqrt{16^2+12^2}=20\,\mathrm{cm}$。
1. 计算水平距离：底面周长为32cm，故A'与B的水平距离为$32÷2=16\,\mathrm{cm}$；
2. 计算垂直距离：杯高14cm，A离上沿3cm，B离杯底5cm，故垂直距离为$3+(14-5)=12\,\mathrm{cm}$；
3. 由勾股定理得：$A'B=\sqrt{16^2+12^2}=20\,\mathrm{cm}$。
4. 如图，在锐角三角形 $ ABC $ 中，$ AB = 4\sqrt{2} $，$ ∠ BAC = 45° $，$ ∠ BAC $ 的平分线 $ AD $ 交 $ BC $ 于点 $ D $，$ M $，$ N $ 分别是 $ AD $ 和 $ AB $ 上的动点，则 $ BM + MN $ 的最小值是.
答案
4
解析
1. 过点B作$BH⊥AC$于点H，交AD于点M，过M作$MN⊥AB$于点N。
2. 因为AD平分$∠BAC$，根据角平分线的性质，$MN=MH$，所以$BM+MN=BM+MH=BH$。
3. 在$Rt△ABH$中，$∠BAC=45°$，$AB=4\sqrt{2}$，$∠AHB=90°$，则$BH=AB·sin45°=4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=4$。
4. 根据垂线段最短，此时$BM+MN$取得最小值，为4。
2. 因为AD平分$∠BAC$，根据角平分线的性质，$MN=MH$，所以$BM+MN=BM+MH=BH$。
3. 在$Rt△ABH$中，$∠BAC=45°$，$AB=4\sqrt{2}$，$∠AHB=90°$，则$BH=AB·sin45°=4\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}=4$。
4. 根据垂线段最短，此时$BM+MN$取得最小值，为4。
5. 如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ CA = CB = 3 $，点 $ D $ 在边 $ BC $ 上.将 $ △ ACD $ 沿 $ AD $ 折叠，使点 $ C $ 落在点 $ C' $ 处，连接 $ BC' $，则 $ BC' $ 的最小值是.
答案
$3\sqrt{2}-3$
解析
1. 根据折叠的性质可知：$AC' = AC = 3$，因此点$C'$的轨迹是以$A$为圆心，$AC$长为半径的圆。
2. 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，$CA = CB = 3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{CA^2+CB^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
3. 根据圆的性质，当$B$、$C'$、$A$三点共线，且$C'$在线段$AB$上时，$BC'$取得最小值，此时$BC'=AB - AC'=3\sqrt{2}-3$。
2. 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ C = 90°$，$CA = CB = 3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{CA^2+CB^2}=\sqrt{3^2+3^2}=3\sqrt{2}$。
3. 根据圆的性质，当$B$、$C'$、$A$三点共线，且$C'$在线段$AB$上时，$BC'$取得最小值，此时$BC'=AB - AC'=3\sqrt{2}-3$。
6. 如图，正方形 $ ABCD $ 的边长为 4，$ O $ 为对角线 $ AC $ 的中点，$ E $，$ F $ 分别为边 $ AD $，$ CD $ 上的动点，且 $ DE = DF $，连接 $ CE $，$ OF $，则 $ CE + OF $ 的最小值为.
答案
$2\sqrt{10}$
解析
1. 连接OE，在正方形ABCD中，OA=OC，∠OAE=∠OCF=45°，AD=CD。
2. 由DE=DF，得AD-DE=CD-DF，即AE=CF。
3. 根据SAS可证△OAE≌△OCF，故OE=OF，因此CE+OF=CE+OE。
4. 作点C关于AD的对称点C'，根据两点之间线段最短，CE+OE的最小值为线段OC'的长度。
5. 以A为原点建立平面直角坐标系，得A(0,4)，C(4,0)，AC中点O(2,2)，C'(-4,0)。计算OC'的长度：$\sqrt{(2+4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
综上，CE+OF的最小值为$2\sqrt{10}$。
2. 由DE=DF，得AD-DE=CD-DF，即AE=CF。
3. 根据SAS可证△OAE≌△OCF，故OE=OF，因此CE+OF=CE+OE。
4. 作点C关于AD的对称点C'，根据两点之间线段最短，CE+OE的最小值为线段OC'的长度。
5. 以A为原点建立平面直角坐标系，得A(0,4)，C(4,0)，AC中点O(2,2)，C'(-4,0)。计算OC'的长度：$\sqrt{(2+4)^2+(2-0)^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
综上，CE+OF的最小值为$2\sqrt{10}$。
