1. 设 $ M = \frac{a}{a + 1} $，$ N = \frac{a + 1}{a + 2} $，当 $ a ＞ 0 $ 时，$ M $ 与 $ N $ 的大小关系是()

A.$ M ＞ N $
B.$ M = N $
C.$ M ＜ N $
D.不能确定

C

2. 计算：
(1)$ \frac{a}{a^2 - 1} + \frac{1}{1 - a^2} = $；
(2)$ \frac{a^2}{a - 1} - \frac{1 - 2a}{1 - a} = $；
(3)$ \frac{2}{a - 3} - \frac{12}{a^2 - 9} = $。

$\frac{1}{a+1}$
a-1
$\frac{2}{a+3}$

3. 已知 $ a + b = 2 $，$ ab = - 5 $，则 $ \frac{a}{b} + \frac{b}{a} $ 的值为。

$-\frac{14}{5}$

4. 证明：$ \frac{1}{n(n + 1)(n + 2)} + \frac{1}{n + 1} = \frac{n + 1}{n(n + 2)} $。

证明：左边$​=\frac {1}{n(n+1)(n+2)}+\frac {1}{n+1}​$
$​=\frac {1}{n(n+1)(n+2)}+\frac {n(n+2)}{n(n+1)(n+2)}​$
$​=\frac {1+n(n+2)}{n(n+1)(n+2)}​$
$​=\frac {1+n^2+2n}{n(n+1)(n+2)}​$
$​=\frac {(n+1)^2}{n(n+1)(n+2)}​$
$​=\frac {n+1}{n(n+2)}=​$右边，所以等式成立。

5. 设 $ b $ g 糖水里有 $ a $ g 糖，则原来糖水中糖的质量分数为 $ p_1 = \frac{a}{b} $；若加入的糖为 $ m $ g，则糖水中糖的质量分数为 $ p_2 = \frac{a + m}{b + m} $。由上述生活现象我们可以得到不等式 $ \frac{a}{b} ＜ \frac{a + m}{b + m} $（$ 0 ＜ a ＜ b $，$ m ＞ 0 $）。请用分式的加减进行验证。

解：验证：$​\frac {a+m}{b+m}-\frac {a}{b}​$
$​=\frac {b(a+m)-a(b+m)}{b(b+m)}​$
$​=\frac {ab+bm-ab-am}{b(b+m)}​$
$​=\frac {m(b-a)}{b(b+m)}$，​
因为​0 ＜ a ＜ b，​​m ＞ 0，​所以​b - a ＞ 0，​​b(b + m) ＞ 0，​
则$​\frac {m(b - a)}{b(b + m)} ＞ 0$，​
即$​\frac {a + m}{b + m} - \frac {a}{b} ＞ 0$，​
所以$​\frac {a}{b} ＜ \frac {a + m}{b + m}$。​