23. (12分)如图,在$ △ A B C $中,D是BC边上一点,E是AD的中点,过A作BC的平行线交CE的延长线于点F,且$ A F = B D $,连接BF.
(1)求证:$ B D = C D $.
(2)如果$ A B = A C $,那么试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论.
(3)当$ △ A B C $满足什么条件时,四边形AFBD为正方形? 并说明理由.

23.(1)证明:
∵$AF// BC$，
∴$∠AFE=∠ECD$.
∵$E$是$AD$的中点，
∴$DE = AE$.
　
∵$∠AEF=∠DEC$，
　
∴$△AEF≌△DEC(AAS)$，
∴$AF = DC$.
∵$AF = BD$，
∴$BD = CD$.
　　(2)解:四边形$AFBD$为矩形.
　
∵$AF = BD$，$AF// BD$，
∴四边形$AFBD$为平行四边形.
　
∵$AB = AC$，$BD = DC$，
∴$AD⊥BC$，
　
∴$∠BDA = 90°$，
　
∴四边形$AFBD$为矩形.
(3)解:$AB = AC$，且$∠BAC = 90°$.
　　理由:
∵$AB = AC$，且$∠BAC = 90°$，
　
∴$∠ABC = 45°$.
　
∵$AD⊥BC$，
∴$∠BAD = 45°$，
∴$AD = DB$.又由(2)结论知:
∵$AB = AC$，
　
∴四边形$AFBD$为矩形，
　
∴四边形$AFBD$为正方形.

24. (12分)“低碳生活,绿色出行”的理念正逐渐被人们所接受,越来越多的人选择骑自行车上下班.王叔叔某天骑自行车上班,从家出发到单位过程中行进速度$ v ( \mathrm { m } / \mathrm { min } ) $随时间$ t ( \mathrm { min } ) $变化的大致函数图象如图,图象由三条线段OA,AB和BC组成.设线段OC上有一动点$ T ( t, 0 ) $,直线l左侧部分的面积即为t min内王叔叔行进的路程$ s ( \mathrm { m } ) $.

(1)①当$ t = 2 $时,速度$ v = \_\_\_\_\_\_ \mathrm { m } / \mathrm { min } $,路程$ s = $m;
②当$ t = 15 $时,速度$ v = \_\_\_\_\_\_ \mathrm { m } / \mathrm { min } $,路程$ s = $m.
(2)当$ 0 ≤ t ≤ 3 $和$ 3 ＜ t ≤ 15 $时,分别求出路程$ s ( \mathrm { m } ) $关于时间$ t ( \mathrm { min } ) $的函数表达式.
(3)求王叔叔该天上班从家出发行进了750m时所用的时间t.

24.解:(1)①直线$OA$的表达式为$v=\frac{300}{3}t = 100t$，
　　把$t = 2$代入可得$v = 200$.路程$s=\frac{1}{2}×2×200 = 200(m)$.
　　②当$t = 15$时，$v$为定值$300m/min$，路程$s=\frac{1}{2}×3×300+(15 - 3)×300 = 4050(m)$.
　　(2)当$0≤ t≤3$时，直线$OA$的表达式为$v = 100t$.
　　设$l$与$OA$的交点为$P$，则$P(t,100t)$，
　
∴$s = S_{△ POT}=\frac{1}{2}t·100t = 50t^{2}$.
　　当$3＜t≤15$时，设$l$与$AB$的交点为$Q$，则$Q(t,300)$，
　
∴$s = S_{梯形OAQT}=\frac{1}{2}(t - 3 + t)×300 = 300t - 450$.
　　(3)当$0≤ t≤3$，$s_{最大}=50×9 = 450(m)$，
　　当$3＜t≤15$时，$450＜s≤4050$.
　
∴令$750 = 300t - 450$，得$t = 4$.