解决最短距离问题，要利用“两点之间线段最短”。在实际问题中，需要利用、等知识将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题。

平移　轴对称

1. 【数学应用】如图①，A，B 两单位分别位于一条封闭街道的两旁(直线$ l_{1} $，$ l_{2} $ 是街道两边沿)，现准备在这条街道上修建一座过街天桥 PQ。

(1) 天桥应建在何处才能使由 A 经过天桥走到 B 的路程最短？在图②中作出此时天桥 PQ 的位置，简要叙述作法并保留作图痕迹。(注：桥的宽度忽略不计，桥必须与街道垂直)
(2) 根据图①中提供的数据计算由 A 经过天桥走到 B 的最短路线的长。(单位：m)

解：(1)作法：①将点 A 竖直向下平移到点 A'，使 AA'=20；
②连接 A'B，与 l₂交于点 P；
③过点 P 作 PQ⊥l₁于点 Q；
④连接 AQ。
则天桥建在 PQ 处能使由 A 经过天桥走到 B 的路程最短，如图所示。

(2)
∵AA'//PQ，AA'=PQ，
∴线段 PQ 可看成由线段 A'A 平移得到的，
∴AQ=A'P，
∴AQ+PB=A'P+PB=A'B。
如图，过点 B 作 AA'的垂线，交其延长线于点 C。
在△A'BC 中，∠C=90°，BC=60m，A'C=AC−AA'=15+20+10−20=25(m)，
∴A'B= $\sqrt{BC²+A'C²}$=65m，
AQ+PQ+PB=A'B+PQ=65+20=85(m)。
故由 A 经过天桥走到 B 的最短路线的长为 85m。

2. 【综合与实践】
【旧题重温】
(1) 如图①，村庄 A，B 在河流 l 同侧，现欲在河岸边建一个水泵站 P，水泵站建在何处才能使 $ PA + PB $ 最短？(不需说明画法，保留画图痕迹)
【深入探索】
(2) 如图②，两个居民小区 A 和 B 在河岸 l 的同侧，现欲在河岸边建一个长度为 $ s $ m 的绿化带 CD，使 C 到小区 A 的距离与 D 到小区 B 的距离之和最小。请在图③中画出绿化带的位置，并写出画图过程。

解：(1)如图①，点 P 为所求。

(2)绿化带 CD 的位置如图②所示。
作法：①将点 A 沿河岸 l 的方向平移 s m 到点 A'；
②作点 B 关于河岸 l 的对称点 B'；
③连接 A'B'，与 l 交于点 D；
④过点 A 作 AC//A'D，与 l 交于点 C，
则 CD 为所求。