4. 如图，已知在$△ ABC$中，$BD$平分$∠ ABC$，$DE// BC$，$EF// AC$.求证：$BE = CF$.

4. 证明:先证四边形DEFC是平行四边形,
∴ DE=FC,再证DE=BE,
∴ BE=CF.

5. 如图，在$□ ABCD$中，$E$，$F$分别是$AD$，$BC$的中点，$AF$与$BE$交于点$G$，$CE$和$DF$交于点$H$.求证：$EF$和$GH$相互平分.

5. 证明: 先证四边形AFCE,EGFH是平行四边形,
∴ AF//CF,BE//DF,
∴ 四边形EGFH是平行四边形,
∴ EF和GH相互平分.

1. 如图，已知在$□ ABCD$中，$E$，$F$是对角线$BD$上的两点，$BE = DF$，点$G$，$H$分别在$BA$和$DC$的延长线上，且$AG = CH$，连接$GE$，$EH$，$HF$，$FG$.求证：四边形$GEHF$是平行四边形.

1. 证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AB=CD,AB//CD,
∴ ∠GBE=∠HDF.
又
∵ AG=CH,
∴ BG=DH.
∵ BE=DF,
∴ △GBE≌△HDF,
∴ GE=HF,
∠GBE=∠HDF,
∴ ∠GEF=∠HFE,
∴ GE//HF.
∴ 四边形GEHF是平行四边形.

2. 如图，将$□ ABCD$的$AD$边延长至点$E$，使$DE=\dfrac{1}{2}AD$，连接$CE$，$F$是$BC$边的中点，连接$FD$.
(1)求证：四边形$CEDF$是平行四边形；
(2)若$AB = 3$，$AD = 4$，$∠ A = 60^{\circ}$，求$CE$的长.

2. (1)证明:
∵ 四边形ABCD是平行四边形,
∴ AD=BC,AD//BC.
∵ DE=$\frac{1}{2}$AD,F是BC边的中点,
∴ DE=FC,DE//FC,
∴ 四边形CEDF是平行四边形.
(2)解:过点D作DN⊥BC于点N,
∵ 四边形ABCD是平行四边形,∠A=60°,
∴ ∠BCD=∠A=60°.
∵ AB=3,AD=4,
∴ FC=2,NC=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{3}{2}$,DN=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$,
∴ FN=$\frac{1}{2}$,
∴ DF=EC=$\sqrt{DN^{2}+FN^{2}}$=$\sqrt{7}$.