16. (★★)勾股定理是人类最伟大的科学发现之一。我国古代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明，后人称之为“赵爽弦图”，流传至今。如图，下列式子可以用来表示从图①到图②的变化的是【 】

A.$ 4 × \frac{1}{2}ab + (b - a)^{2} = c^{2} $
B.$ \frac{1}{2}(a + b)^{2} = 2( \frac{1}{2}ab + \frac{1}{2}c^{2} ) $
C.$ 4ab + (b - a)^{2} = c^{2} $
D.$ a^{2} + ab + a · (b - a) = c^{2} $

A

图①到图②的变化是将几个图形拼成一个大正方形。图②中，大正方形面积可表示为4个直角三角形面积与中间小正方形面积之和。每个直角三角形面积为$\frac{1}{2}ab$，4个三角形面积为$4×\frac{1}{2}ab$；中间小正方形边长为$b - a$，面积为$(b - a)^2$。大正方形边长为$c$，面积为$c^2$。因此，$4×\frac{1}{2}ab + (b - a)^2 = c^2$。

17. (★★)在 $ △ ABC $ 中，$ AC = 4\sqrt{5} $，$ AB $ 边上的高 $ CD = 4 $，$ BC = 5 $，则 $ AB $ 的长为。

5或11

在Rt△BCD中，CD=4，BC=5，由勾股定理得：$BD=\sqrt{BC^2-CD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$。在Rt△ACD中，CD=4，AC=4√5，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AC^2-CD^2}=\sqrt{(4\sqrt{5})^2-4^2}=8$。当D在AB上时，AB=AD+BD=8+3=11；当D在AB延长线上时，AB=AD-BD=8-3=5。故AB的长为5或11。

18. (★★)如图，在 $ \mathrm{Rt} △ ABC $ 中，$ ∠ ACB = 90^{\circ} $，$ AB = 10 \mathrm{ cm} $，$ AC = 6 \mathrm{ cm} $，动点 $ P $ 从点 $ B $ 出发沿射线 $ BC $ 以 $ 2 \mathrm{ cm/s} $ 的速度移动，设运动的时间为 $ t \mathrm{ s} $。

(1)求 $ BC $ 边的长；
(2)当 $ △ ABP $ 为直角三角形时，求 $ t $ 的值。
]

(1)$8\mathrm{cm}$；(2)$t=4$或$t=\frac{25}{4}$。

(1)在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90^{\circ}$，由勾股定理得$BC^{2}=AB^{2}-AC^{2}$。
$AB=10\mathrm{cm}$，$AC=6\mathrm{cm}$，
$\therefore BC^{2}=10^{2}-6^{2}=100-36=64$，
$\therefore BC=8\mathrm{cm}$。
(2)由题意得$BP=2t\mathrm{cm}$，分三种情况：
①当$∠ ABP=90^{\circ}$时，$∠ ABC$为锐角，不存在；
②当$∠ BAP=90^{\circ}$时，$P$在$BC$延长线上，$CP=BP-BC=2t-8$。
在$Rt△ ACP$中，$AP^{2}=AC^{2}+CP^{2}=6^{2}+(2t-8)^{2}$。
在$Rt△ ABP$中，$BP^{2}=AB^{2}+AP^{2}$，
$\therefore (2t)^{2}=10^{2}+6^{2}+(2t-8)^{2}$，
$4t^{2}=100+36+4t^{2}-32t+64$，
$32t=200$，$t=\frac{25}{4}$。
③当$∠ APB=90^{\circ}$时，$P$在$BC$上，$CP=BC-BP=8-2t$。
在$Rt△ ACP$中，$AP^{2}=6^{2}+(8-2t)^{2}$。
在$Rt△ ABP$中，$AB^{2}=AP^{2}+BP^{2}$，
$\therefore 10^{2}=6^{2}+(8-2t)^{2}+(2t)^{2}$，
$100=36+64-32t+4t^{2}+4t^{2}$，
$8t^{2}-32t=0$，$t(t-4)=0$，$t=4$（$t=0$舍去）。
综上，$t=4$或$t=\frac{25}{4}$。