4. 如图,在△ABC 中,AB= AC,D 为 BC 的中点,过点 D 作 DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F.求证：DE= DF.

证明：
连接 $AD$。
由于 $AB = AC$，且 $D$ 为 $BC$ 的中点，
根据等腰三角形的性质，$AD$ 是 $△ ABC$ 的角平分线（三线合一）。
由于 $DE ⊥ AB$，$DF ⊥ AC$，
根据角平分线的性质，角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，
所以 $DE = DF$。

5. 如图,在△ABC 中,∠C= 90°,AD 平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为 E,点 F 在 AC 上,且 BD= DF.
(1)求证：CF= EB；
(2)判断 AE,AF 与 BE 之间的数量关系,并说明理由.

(1)证明：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴DC=DE（角平分线上的点到角两边距离相等）。
在Rt△DCF和Rt△DEB中，∵DF=BD，DC=DE，∴Rt△DCF≌Rt△DEB（HL），∴CF=EB。
(2)AE=AF+BE。理由如下：
∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED=90°。
在△ACD和△AED中，∵∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED，AD=AD，∴△ACD≌△AED（AAS），∴AC=AE。
∵AC=AF+CF，且CF=EB（已证），∴AC=AF+EB，∴AE=AF+BE。