6. 如图,有一幅不完整的正多边形图案,小丽量得图中一边与一条对角线的夹角 $∠ ACB = 15^{\circ}$,则这个正多边形的边数是()。


A.$9$
B.$10$
C.$11$
D.$12$

D

设正多边形的边数为$n$，其外接圆圆心为$O$。$AB$为正多边形的一边，$AC$为对角线，$∠ ACB = 15^{\circ}$。
因为正多边形顶点在外接圆上，$AB$所对的圆心角为$\frac{360^{\circ}}{n}$。
$∠ ACB$是弦$AB$所对的圆周角，根据圆周角定理，圆周角等于同弧所对圆心角的一半，即$∠ ACB=\frac{1}{2}×\frac{360^{\circ}}{n}=\frac{180^{\circ}}{n}$。
已知$∠ ACB = 15^{\circ}$，则$\frac{180^{\circ}}{n}=15^{\circ}$，解得$n = 12$。

7. 一个多边形截去一个角后,形成一个内角和为 $720^{\circ}$ 的多边形,那么原来的多边形的边数为()。

A.$5$
B.$5$ 或 $6$
C.$5$ 或 $7$
D.$5$ 或 $6$ 或 $7$

D

设截去一个角后形成的多边形边数为$n$，由内角和公式$(n - 2)×180° = 720°$，解得$n = 6$。
多边形截去一个角后，边数可能增加1、不变或减少1：
若边数增加1，则原多边形边数为$6 - 1 = 5$；
若边数不变，则原多边形边数为$6$；
若边数减少1，则原多边形边数为$6 + 1 = 7$。
综上，原来多边形的边数为5或6或7。

8. 【综合与实践】某中学八(1)班数学课外兴趣小组在探究“$n$ 边形 ($n≥4$)共有多少条对角线”这一问题时,设计了如下表格:

(1) 探究:假如你是该小组的成员,请把你探究的结果填入上表;
(2) 猜想:随着边数的增加,多边形对角线的条数会越来越多,从 $n$ 边形的一个顶点出发可引的对角线条数为,$n$ 边形对角线的总条数为;
(3) 应用:$10$ 个人聚会(围成一圈),不相邻的两人都握一次手,共握多少次手?

(1)
| 多边形的边数 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | … |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 从多边形的一个顶点出发可引的对角线条数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
| 多边形对角线的总条数 | 2 | 5 | 9 | 14 | 20 | … |
(2) $n - 3$；$\frac{n(n - 3)}{2}$
(3)
$n = 10$，$\frac{10×(10 - 3)}{2}=\frac{10×7}{2}= 35$（次）
答：共握 35 次手。