一、选择题
1. 如图1，五边形$ABCDE$和五边形$A'B'C'D'E'$是以点$O$为位似中心的位似图形，若$OA':OA = 1:2$，则五边形$A'B'C'D'E'$和五边形$ABCDE$的面积比为()
A. $1:4$
B. $1:3$
C. $1:2$
D. $1:\sqrt{2}$

解：
∵五边形$ABCDE$和五边形$A'B'C'D'E'$是以点$O$为位似中心的位似图形，
∴五边形$A'B'C'D'E' ∼$五边形$ABCDE$，且相似比为$OA':OA=1:2$。
根据相似图形的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方，
∴五边形$A'B'C'D'E'$和五边形$ABCDE$的面积比为$1^2:2^2=1:4$。
故选A。

2. 如图2，某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形，则小鱼上的点$(a,b)$对应大鱼上的点是()

A.$(-2a,-2b)$
B.$(-a,-2b)$
C.$(-2b,-2a)$
D.$(-2a,-b)$

A

观察图形可知，大鱼与小鱼是以原点为位似中心的位似图形，位似比为-2。根据位似图形的坐标变化规律，小鱼上的点$(a,b)$对应大鱼上的点为$(-2a,-2b)$。

3. 如图3，已知$E(-4,2)$，$F(-1,-1)$，以$O$为位似中心，按比例尺$1:2$把$△ EOF$缩小，则点$E$的对应点$E'$的坐标为()

A.$(2,-1)$或$(-2,1)$
B.$(8,-4)$或$(-8,4)$
C.$(2,-1)$
D.$(8,-4)$

A

以原点为位似中心，位似比为$\frac{1}{2}$时，原坐标$(x,y)$的对应点坐标为$(\frac{1}{2}x,\frac{1}{2}y)$或$(-\frac{1}{2}x,-\frac{1}{2}y)$。
已知$E(-4,2)$，代入计算：
当位似图形与原图形在位似中心同侧时，$E'(-4×\frac{1}{2},2×\frac{1}{2})=(-2,1)$；
当位似图形与原图形在位似中心异侧时，$E'(-4×(-\frac{1}{2}),2×(-\frac{1}{2}))=(2,-1)$。
因此点$E$的对应点$E'$的坐标为$(2,-1)$或$(-2,1)$。

4. 如图4，在平面直角坐标系中，矩形$OABC$的顶点$O$在坐标原点，边$OA$在$x$轴上，$OC$在$y$轴上，如果矩形$OA'B'C'$与矩形$OABC$关于点$O$位似，且矩形$OA'B'C'$的面积等于矩形$OABC$面积的$\frac{1}{4}$，那么点$B'$的坐标是()

A.$(3,2)$
B.$(-2,-3)$
C.$(2,3)$或$(-2,-3)$
D.$(3,2)$或$(-3,-2)$

D

1. 根据位似图形的性质，面积比等于相似比的平方，已知面积比为$\frac{1}{4}$，可得相似比为$\frac{1}{2}$。
2. 矩形$OABC$的顶点$B$坐标为$(6,4)$，以原点为位似中心，位似图形可在原点同侧或异侧，因此点$B'$的坐标为$(6×\frac{1}{2},4×\frac{1}{2})=(3,2)$或$(6×(-\frac{1}{2}),4×(-\frac{1}{2}))=(-3,-2)$。

5. 等边三角形$OAB$在平面直角坐标系中的位置如图5所示，已知$△ OAB$边长为$6$，且$△ OAB$与$△ OA'B'$关于点$O$成位似图形，且位似比为$1:2$，则点$A'$的坐标可能是()


A.$(-6,6\sqrt{3})$
B.$(6,6\sqrt{3})$
C.$(-3,-3\sqrt{3})$
D.$(6,-6\sqrt{3})$

B

1. 确定点A的坐标：
等边△OAB边长为6，O在原点，B(6,0)，则A的横坐标为3，纵坐标为$\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt{3}$，即$A(3,3\sqrt{3})$。
2. 根据位似图形性质计算A'的坐标：
△OAB与△OA'B'关于点O位似，位似比为$1:2$，即$OA:OA'=1:2$，因此点A'的坐标为A的坐标乘以2或-2：
乘以2得：$(3×2, 3\sqrt{3}×2)=(6,6\sqrt{3})$；
乘以-2得：$(3×(-2), 3\sqrt{3}×(-2))=(-6,-6\sqrt{3})$，该结果不在选项中。
3. 对比选项，$(6,6\sqrt{3})$符合条件。