6. 如图，直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$OE$ 平分 $∠ BOD$，$OF$ 平分 $∠ COE$，且 $∠ AOD:∠ BOE = 4:1$，求 $∠ AOF$ 的度数.

解：设∠BOE = x，
∵ OE平分∠BOD，
∴ ∠DOE = ∠BOE = x，
由∠AOD:∠BOE = 4:1，得∠AOD = 4x。
∵ ∠AOD + ∠BOD = 180°，且∠BOD = ∠BOE + ∠DOE = 2x，
∴ 4x + 2x = 180°，
解得x = 30°。
∴ ∠DOE = 30°，∠AOC = ∠BOD = 2x = 60°（对顶角相等）。
∠COE = 180° - ∠DOE = 180° - 30° = 150°，
∵ OF平分∠COE，
∴ ∠COF = $\frac{1}{2}$∠COE = $\frac{1}{2}$×150° = 75°。
∴ ∠AOF = ∠AOC + ∠COF = 60° + 75° = 135°。

7. 如图，直线 $a$，$b$ 相交点 $O$，将量角器的中心与点 $O$ 重合，发现表示 $60°$ 的点在直线 $a$ 上，若表示 $138°$ 的点在直线 $b$ 上，则 $∠ 1=$.

102°

首先计算直线a与直线b的夹角：$138° - 60° = 78°$；根据直线相交时邻补角和为$180°$，可得$∠1 = 180° - 78° = 102°$。

8. 已知 $∠ AOB$ 与 $∠ BOC$ 互为邻补角，且 $∠ BOC＞∠ AOB$. $OD$ 平分 $∠ AOB$，射线 $OE$ 使 $∠ BOE=\frac{1}{2}∠ EOC$，当 $∠ DOE = 72°$ 时，$∠ EOC$ 的度数为()

A.$72°$
B.$108°$
C.$72°$ 或 $108°$
D.以上都不对

A

1. 设∠AOB = $ x° $，因为∠AOB与∠BOC互为邻补角，所以∠AOB + ∠BOC = $ 180° $，即∠BOC = $ 180° - x° $。
2. 因为OD平分∠AOB，所以∠DOB = $ \frac{1}{2}∠AOB = \frac{1}{2}x° $。
3. 设∠BOE = $ y° $，由∠BOE = $ \frac{1}{2}∠EOC $，得∠EOC = $ 2y° $，则∠BOC = ∠BOE + ∠EOC = $ 3y° $，故$ 3y = 180 - x $，即$ y = \frac{180 - x}{3} $。
4. 已知∠DOE = $ 72° $，且∠DOE = ∠DOB + ∠BOE，代入得：
$ \frac{1}{2}x + \frac{180 - x}{3} = 72 $
两边同乘6消分母：$ 3x + 2(180 - x) = 432 $，化简得$ x = 72° $。
5. 则∠BOC = $ 180° - 72° = 108° $，$ 3y = 108 $，解得$ y = 36° $，故∠EOC = $ 2y = 72° $。

9. 两条直线相交所成的四个角中，有两个角分别是 $(2x - 10)°$ 和 $(110 - x)°$，则 $x=$.

40或80

两条直线相交所成的角，要么是对顶角（相等），要么是邻补角（和为180°），分两种情况讨论：
1. 若两角为对顶角，则相等：
$2x - 10 = 110 - x$
解得：$3x = 120$，$x = 40$；
2. 若两角为邻补角，则和为180°：
$(2x - 10) + (110 - x) = 180$
化简得：$x + 100 = 180$，解得$x = 80$。
综上，$x$的值为40或80。

10. 如图，直线 $AB$，$CD$ 相交于点 $O$，$OA$ 平分 $∠ EOC$，$∠ AOE = 40°$，求 $∠ BOD$ 的度数.

解：
∵ OA平分∠EOC，∠AOE = 40°，
∴ ∠AOC = ∠AOE = 40°，
∵ ∠BOD与∠AOC是对顶角，
∴ ∠BOD = ∠AOC = 40°。