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1. 在平面直角坐标系中，点 $ (-2,3) $ 向右平移 $ 3 $ 个单位长度后的坐标是()
A.$ (-5,3) $
B.$ (1,3) $
C.$ (-2,6) $
D.$ (-2,0) $
A.$ (-5,3) $
B.$ (1,3) $
C.$ (-2,6) $
D.$ (-2,0) $
答案
B
解析
在平面直角坐标系中，点向右平移时，横坐标增加，纵坐标不变。点$(-2,3)$向右平移$3$个单位长度，横坐标变为$-2 + 3 = 1$，纵坐标仍为$3$，所以平移后的坐标是$(1,3)$。
2. 将点 $ A(3,-2) $ 向左平移 $ m $ 个单位长度得到点 $ A' $。若点 $ A' $ 在 $ y $ 轴上，则 $ m $ 的值是()
A.$ 3 $
B.$ -3 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $
A.$ 3 $
B.$ -3 $
C.$ 2 $
D.$ -2 $
答案
A
解析
点$A(3,-2)$向左平移$m$个单位长度后，其横坐标变为$3 - m$，纵坐标不变，仍为$-2$。
由于点$A'$在$y$轴上，所以其横坐标必须为$0$，即：
$3 - m = 0$，
解这个方程，得到：
$m = 3$。
由于点$A'$在$y$轴上，所以其横坐标必须为$0$，即：
$3 - m = 0$，
解这个方程，得到：
$m = 3$。
3. 在平面直角坐标系中，若将点 $ (2,m) $ 向下平移 $ 6 $ 个单位长度后得到点 $ (2,-4) $，则 $ m $ 的值为。
答案
$2$
解析
在平面直角坐标系中，点的平移规律是：上下平移时，横坐标不变，纵坐标上加下减。
已知点$(2,m)$向下平移$6$个单位长度后得到点$(2,-4)$，根据上述规律，可得$m - 6 = - 4$，解得$m = 2$。
已知点$(2,m)$向下平移$6$个单位长度后得到点$(2,-4)$，根据上述规律，可得$m - 6 = - 4$，解得$m = 2$。
4. 若点 $ A(a,a + 4) $ 向下平移 $ 6 $ 个单位长度到达点 $ B $，点 $ A $ 与 $ B $ 恰好关于 $ x $ 轴对称，则 $ a $ 的值是。
答案
$-1$
解析
点 $A(a, a+4)$ 向下平移 6 个单位长度后到达点 $B(a, a+4-6) = (a, a-2)$。
由于点 $A$ 和点 $B$ 关于 $x$ 轴对称，根据对称性质，两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
因此，有：
$a+4 = -(a-2)$，
解这个方程，得到：
$2a = -2$，
$a = -1$。
由于点 $A$ 和点 $B$ 关于 $x$ 轴对称，根据对称性质，两点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。
因此，有：
$a+4 = -(a-2)$，
解这个方程，得到：
$2a = -2$，
$a = -1$。
5. 如图，已知 $ △ ABC $ 三个顶点的坐标分别为 $ A(4,2) $，$ B(2,1) $，$ C(1,4) $。
(1)画出 $ △ ABC $ 沿 $ x $ 轴向左平移 $ 5 $ 个单位长度得到的 $ △ A_1B_1C_1 $；
(2)写出点 $ A_1 $，$ B_1 $，$ C_1 $ 的坐标；
(3)在 $ x $ 轴上求作一点 $ P $，使 $ △ PAB $ 的周长最小，并求出此最小值。
(1)画出 $ △ ABC $ 沿 $ x $ 轴向左平移 $ 5 $ 个单位长度得到的 $ △ A_1B_1C_1 $；
(2)写出点 $ A_1 $，$ B_1 $，$ C_1 $ 的坐标；
(3)在 $ x $ 轴上求作一点 $ P $，使 $ △ PAB $ 的周长最小，并求出此最小值。
答案
(1)
(2) $ A_1(-1, 2) $，$ B_1(-3, 1) $，$ C_1(-4, 4) $；
(3) $ P( \frac{8}{3}, 0 ) $，$ \sqrt{13} + \sqrt{5} $。
解析
(1) 将 $ △ ABC $ 沿 $ x $ 轴向左平移 $ 5 $ 个单位长度，即每个顶点的 $ x $ 坐标减 $ 5 $，得到 $ △ A_1B_1C_1 $。
$A(4, 2) \to A_1(4-5, 2) = A_1(-1, 2) $；
$B(2, 1) \to B_1(2-5, 1) = B_1(-3, 1) $；
$C(1, 4) \to C_1(1-5, 4) = C_1(-4, 4) $；
在坐标系中标出 $ A_1(-1, 2) $，$ B_1(-3, 1) $，$ C_1(-4, 4) $，并连接成三角形。
(2) 由 (1) 可知，$ A_1(-1, 2) $，$ B_1(-3, 1) $，$ C_1(-4, 4) $。
(3) 作点 $ A $ 关于 $ x $ 轴对称点 $ Q $，$ Q $ 的坐标为 $ (4, -2) $，连 $ BQ $，$ BQ $ 交 $ x $ 轴于一点 $ P $，$ P $ 即所求的点。连 $ AP $，此时 $ △ PAB $ 的周长最小值为 $ AP + PB + AB = BQ + AB $。
设直线 $ BQ $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $，直线 $ BQ $ 过点 $ Q(4, -2) $，$ B(2, 1) $，
$\therefore \begin{cases}4k + b = -2, \\2k + b = 1.\end{cases} $
解得 $ k = -\frac{3}{2} $，$ b = 4 $，
直线 $ BQ $ 的表达式为 $ y = -\frac{3}{2}x + 4 $，
当 $ y = 0 $ 时，$ x = \frac{8}{3} $，即 $ P( \frac{8}{3}, 0 ) $。
由勾股定理可得：$ BQ = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{13} $，
$ AB = \sqrt{(4 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5} $，
$\therefore BQ + AB = \sqrt{13} + \sqrt{5} $。
即 $ △ PAB $ 的周长最小值为 $ \sqrt{13} + \sqrt{5} $。
$A(4, 2) \to A_1(4-5, 2) = A_1(-1, 2) $；
$B(2, 1) \to B_1(2-5, 1) = B_1(-3, 1) $；
$C(1, 4) \to C_1(1-5, 4) = C_1(-4, 4) $；
在坐标系中标出 $ A_1(-1, 2) $，$ B_1(-3, 1) $，$ C_1(-4, 4) $，并连接成三角形。
(2) 由 (1) 可知，$ A_1(-1, 2) $，$ B_1(-3, 1) $，$ C_1(-4, 4) $。
(3) 作点 $ A $ 关于 $ x $ 轴对称点 $ Q $，$ Q $ 的坐标为 $ (4, -2) $，连 $ BQ $，$ BQ $ 交 $ x $ 轴于一点 $ P $，$ P $ 即所求的点。连 $ AP $，此时 $ △ PAB $ 的周长最小值为 $ AP + PB + AB = BQ + AB $。
设直线 $ BQ $ 的函数表达式为 $ y = kx + b $，直线 $ BQ $ 过点 $ Q(4, -2) $，$ B(2, 1) $，
$\therefore \begin{cases}4k + b = -2, \\2k + b = 1.\end{cases} $
解得 $ k = -\frac{3}{2} $，$ b = 4 $，
直线 $ BQ $ 的表达式为 $ y = -\frac{3}{2}x + 4 $，
当 $ y = 0 $ 时，$ x = \frac{8}{3} $，即 $ P( \frac{8}{3}, 0 ) $。
由勾股定理可得：$ BQ = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-2 - 1)^2} = \sqrt{13} $，
$ AB = \sqrt{(4 - 2)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{5} $，
$\therefore BQ + AB = \sqrt{13} + \sqrt{5} $。
即 $ △ PAB $ 的周长最小值为 $ \sqrt{13} + \sqrt{5} $。
6. 提升题 如图，点 $ A $ 的坐标为 $ (2,0) $，点 $ B $ 在 $ y $ 轴上，将 $ △ OAB $ 沿 $ x $ 轴负方向平移，平移后的图形为 $ △ DEC $，且点 $ C $ 的坐标为 $ (-6,4) $。
(1)点 $ E $ 的坐标为。
(2)连接 $ BC $，点 $ P $ 从点 $ B $ 向点 $ C $ 平移 $ t $ 个单位长度。若点 $ P $ 在 $ CE $ 的垂直平分线上，求 $ t $ 的值。
(三)
(1)点 $ E $ 的坐标为。
(2)连接 $ BC $，点 $ P $ 从点 $ B $ 向点 $ C $ 平移 $ t $ 个单位长度。若点 $ P $ 在 $ CE $ 的垂直平分线上，求 $ t $ 的值。
(三)
答案
(1)(-4,0)；(2)1
解析
(1)∵△OAB沿x轴负方向平移得到△DEC，点B对应点C，且点B在y轴上，点C坐标为(-6,4)，∴点B坐标为(0,4)，平移距离为0 - (-6)=6。点A(2,0)平移后得点E，∴E的坐标为(2 - 6,0)=(-4,0)。
(2)B(0,4)，C(-6,4)，BC长为6，点P从B向C平移t个单位，P坐标为(-t,4)。C(-6,4)，E(-4,0)，CE中点为(-5,2)，CE斜率为(0 - 4)/(-4 + 6)=-2，垂直平分线斜率为1/2，方程为y - 2=(1/2)(x + 5)。将P(-t,4)代入得4 - 2=(1/2)(-t + 5)，解得t=1。
(2)B(0,4)，C(-6,4)，BC长为6，点P从B向C平移t个单位，P坐标为(-t,4)。C(-6,4)，E(-4,0)，CE中点为(-5,2)，CE斜率为(0 - 4)/(-4 + 6)=-2，垂直平分线斜率为1/2，方程为y - 2=(1/2)(x + 5)。将P(-t,4)代入得4 - 2=(1/2)(-t + 5)，解得t=1。
