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1. (★)对角线的菱形是正方形，对角线的矩形是正方形，对角线的平行四边形是正方形，对角线的四边形是正方形。
答案
相等；互相垂直；相等且互相垂直；相等、互相垂直且互相平分
解析
菱形的对角线互相垂直且平分，若对角线相等，则菱形成为正方形；矩形的对角线相等且平分，若对角线互相垂直，则矩形成为正方形；平行四边形的对角线互相平分，若对角线相等且互相垂直，则平行四边形成为正方形；四边形的对角线若相等、互相垂直且互相平分，则该四边形是正方形。
2. (★)四边形 $ABCD$ 的对角线相交于点 $O$，能判定它是正方形的条件是【 】
A.$AB = BC = CD = DA$
B.$AO = CO$，$BO = DO$，$AC⊥BD$
C.$AC = BD$，$AC⊥BD$ 且 $AC$，$BD$ 互相平分
D.$AB = BC$，$CD = DA$
A.$AB = BC = CD = DA$
B.$AO = CO$，$BO = DO$，$AC⊥BD$
C.$AC = BD$，$AC⊥BD$ 且 $AC$，$BD$ 互相平分
D.$AB = BC$，$CD = DA$
答案
C
解析
选项A：四边相等的四边形是菱形，不能判定为正方形；选项B：对角线互相平分且垂直的四边形是菱形，不能判定为正方形；选项C：对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，对角线垂直的矩形是正方形，故可判定为正方形；选项D：两组邻边相等的四边形不一定是特殊四边形。综上，能判定是正方形的条件是C。
3. (★)如图，已知四边形 $ABCD$ 是平行四边形，对角线 $AC⊥BD$，且相交于点 $O$，请你添加一个条件，使其成为正方形：。
答案
∠ABC=90°
解析
因为四边形ABCD是平行四边形，且对角线AC⊥BD，所以四边形ABCD是菱形。要使其成为正方形，需添加一个条件使菱形有一个角为直角或对角线相等。根据八年级下册所学内容，可添加条件：∠ABC=90°（或AC=BD等，答案不唯一）。
4. (★)如图，在菱形 $ABCD$ 中，对角线 $AC$，$BD$ 交于点 $O$，要使菱形 $ABCD$ 成为正方形，应添加的一个条件是(填出一个即可)。
答案
AC=BD（或∠ABC=90°等，答案不唯一）
解析
菱形的对角线互相垂直平分，若添加条件AC=BD，则对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形；或添加∠ABC=90°，有一个角是直角的菱形是正方形。
5. (★★)如图，在 $□ ABCD$ 中，$AC = BD$。再添加一个条件，仍不能判定四边形 $ABCD$ 是正方形的是【 】
A.$AB = BC$
B.$∠ABC = 90^{\circ}$
C.$AC⊥BD$
D.$∠ABD = ∠CBD$
A.$AB = BC$
B.$∠ABC = 90^{\circ}$
C.$AC⊥BD$
D.$∠ABD = ∠CBD$
答案
B
解析
已知四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可知ABCD是矩形。
选项A：AB=BC，矩形邻边相等则为正方形，可判定；
选项B：∠ABC=90°，矩形本身四个角都是直角，添加此条件无法使矩形成为正方形，不能判定；
选项C：AC⊥BD，对角线垂直的矩形是正方形，可判定；
选项D：∠ABD=∠CBD，BD平分∠ABC，矩形中∠ABC=90°，则∠ABD=45°，△ABD为等腰直角三角形，AB=AD，邻边相等的矩形是正方形，可判定。
选项A：AB=BC，矩形邻边相等则为正方形，可判定；
选项B：∠ABC=90°，矩形本身四个角都是直角，添加此条件无法使矩形成为正方形，不能判定；
选项C：AC⊥BD，对角线垂直的矩形是正方形，可判定；
选项D：∠ABD=∠CBD，BD平分∠ABC，矩形中∠ABC=90°，则∠ABD=45°，△ABD为等腰直角三角形，AB=AD，邻边相等的矩形是正方形，可判定。
6. (★★)如图，在矩形 $ABCD$ 中，$E$，$F$ 分别是 $AD$，$BC$ 的中点，$G$，$H$ 分别是 $BE$，$CE$ 的中点，要使四边形 $EGFH$ 是正方形，只需添加一个条件，这个条件可以是【 】
A.$BC = AB$
B.$BC = 2AB$
C.$BC = \sqrt{2}AB$
D.$BC = \sqrt{3}AB$
A.$BC = AB$
B.$BC = 2AB$
C.$BC = \sqrt{2}AB$
D.$BC = \sqrt{3}AB$
答案
B
解析
在矩形$ABCD$中，$E$，$F$分别为$AD$，$BC$中点，$G$，$H$分别为$BE$，$CE$中点。
1. 证四边形$EGFH$为菱形：
$G$，$H$为$BE$，$CE$中点，由三角形中位线定理得$GH// BC$且$GH=\frac{1}{2}BC$，$GF// CE$且$GF=\frac{1}{2}CE$，$EH=\frac{1}{2}CE$，故$GF// EH$且$GF=EH$，四边形$EGFH$为平行四边形。
由矩形性质及$E$为$AD$中点，可证$△ ABE≌△ DCE$，得$BE=CE$，则$EG=EH$，平行四边形$EGFH$为菱形。
2. 使菱形$EGFH$为正方形需$∠ GEF=90°$：
设$AB=a$，$BC=b$，则$AE=\frac{b}{2}$，$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{a^2+(\frac{b}{2})^2}$。
当$∠ BEC=90°$时，$△ BEC$为等腰直角三角形，$BC^2=2BE^2$，即$b^2=2(a^2+\frac{b^2}{4})$，解得$b=2a$，即$BC=2AB$。
1. 证四边形$EGFH$为菱形：
$G$，$H$为$BE$，$CE$中点，由三角形中位线定理得$GH// BC$且$GH=\frac{1}{2}BC$，$GF// CE$且$GF=\frac{1}{2}CE$，$EH=\frac{1}{2}CE$，故$GF// EH$且$GF=EH$，四边形$EGFH$为平行四边形。
由矩形性质及$E$为$AD$中点，可证$△ ABE≌△ DCE$，得$BE=CE$，则$EG=EH$，平行四边形$EGFH$为菱形。
2. 使菱形$EGFH$为正方形需$∠ GEF=90°$：
设$AB=a$，$BC=b$，则$AE=\frac{b}{2}$，$BE=\sqrt{AB^2+AE^2}=\sqrt{a^2+(\frac{b}{2})^2}$。
当$∠ BEC=90°$时，$△ BEC$为等腰直角三角形，$BC^2=2BE^2$，即$b^2=2(a^2+\frac{b^2}{4})$，解得$b=2a$，即$BC=2AB$。
7. (★★)如图，四边形 $ABCD$ 的对角线 $AC = BD$，$AC⊥BD$，分别过点 $A$，$B$，$C$，$D$ 作对角线的平行线，所成的四边形 $EFMN$ 是。
答案
正方形
解析
∵过A,B,C,D分别作对角线AC,BD的平行线，∴EF//AC//MN，EN//BD//FM，∴四边形EFMN是平行四边形。∵AC⊥BD，EF//AC，FM//BD，∴EF⊥FM，∴∠EFM=90°，平行四边形EFMN是矩形。∵AC=BD，EF=AC，FM=BD，∴EF=FM，∴矩形EFMN是正方形。
8. (★★)如图，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是 $AB$，$BC$，$CD$，$DA$ 的中点，要使四边形 $EFGH$ 是正方形，$BD$，$AC$ 应满足的条件是。
答案
AC=BD且AC⊥BD
解析
∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，∴EF是△ABC的中位线，EH是△ABD的中位线，∴EF//AC，EF=1/2AC；EH//BD，EH=1/2BD。∴四边形EFGH是平行四边形。要使EFGH是正方形，需邻边相等且有一个角为直角。邻边相等则EF=EH，即1/2AC=1/2BD，得AC=BD；有一个角为直角则EF⊥EH，∵EF//AC，EH//BD，∴AC⊥BD。综上，AC=BD且AC⊥BD。
9. (★★)如图，在 $△ ABC$ 中，$∠BAC = 90^{\circ}$，$AD$ 平分 $∠BAC$，$DE⊥AB$ 于点 $E$，$DF⊥AC$ 于点 $F$。求证：四边形 $AEDF$ 是正方形。
答案
证明：
∵∠BAC=90°，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
∵四边形AEDF是矩形且邻边DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形。
∵∠BAC=90°，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=∠BAC=90°，
∴四边形AEDF是矩形。
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF。
∵四边形AEDF是矩形且邻边DE=DF，
∴四边形AEDF是正方形。
