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如图 8 - 20，分别把下列平行四边形截去一个三角形，得到一个直角梯形和等腰梯形，在图中画出示意图。
答案
对于左边的平行四边形，画法如下：
从左上角顶点向底边作垂线，截去垂线右侧的三角形，得到直角梯形。
对于右边的平行四边形，画法如下：
作右下顶点到上边一顶点的对称点（或从右上角顶点向底边作相等的斜线段，使截去三角形后两侧斜边相等），从右下角顶点向其对称点方向作线段，截去该线段构成的三角形，得到等腰梯形。
（图示应以实际作图为准，此处为文字描述作图方法）。
从左上角顶点向底边作垂线，截去垂线右侧的三角形，得到直角梯形。
对于右边的平行四边形，画法如下：
作右下顶点到上边一顶点的对称点（或从右上角顶点向底边作相等的斜线段，使截去三角形后两侧斜边相等），从右下角顶点向其对称点方向作线段，截去该线段构成的三角形，得到等腰梯形。
（图示应以实际作图为准，此处为文字描述作图方法）。
例 如图 8 - 21，在直角梯形 $ABCD$ 中，$∠ A = 90^{\circ}$，$AB // DC$，$AD = 15$，$AB = 16$，$BC = 17$，求 $CD$ 的长。
答案
8
解析
过点C作CE⊥AB于点E，
∵∠A=90°，AB//DC，
∴四边形AECD为矩形，
∴CD=AE，AD=CE=15。
在Rt△BCE中，BC=17，CE=15，
由勾股定理得：EB²=BC²-CE²=17²-15²=289-225=64，
∴EB=8。
∵AB=AE+EB=16，
∴AE=AB-EB=16-8=8，
∴CD=AE=8。
∵∠A=90°，AB//DC，
∴四边形AECD为矩形，
∴CD=AE，AD=CE=15。
在Rt△BCE中，BC=17，CE=15，
由勾股定理得：EB²=BC²-CE²=17²-15²=289-225=64，
∴EB=8。
∵AB=AE+EB=16，
∴AE=AB-EB=16-8=8，
∴CD=AE=8。
(1)下列四边形中，两条对角线一定相等的是()。
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.直角梯形
A.平行四边形
B.菱形
C.等腰梯形
D.直角梯形
答案
C
解析
平行四边形的对角线互相平分但不一定相等；菱形的对角线互相垂直且平分，但不一定相等；等腰梯形的两条对角线根据其定义和性质是相等的；直角梯形的对角线不一定相等。因此两条对角线一定相等的是等腰梯形。
(2)若梯形的上、下底长分别是 2 和 4，它的一腰长为 3，则另一腰长不可能是()。
A.1
B.2
C.3
D.4
A.1
B.2
C.3
D.4
答案
A
解析
过梯形的上底的一个端点作一腰的平行线，与下底构造出一个三角形，第三边的长应该满足三边关系，即两边之差小于第三边，两边之和大于第三边。
已知梯形的上底长为2，下底长为4，则下底与上底的差为2。
已知梯形的一腰长为3，在构造的三角形中，第三边（即另一腰）与腰长3满足三边关系。
设另一腰长为$x$，则：$3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2$，即：$1 ＜ x ＜ 5$。
A选项1不在这个范围内（不满足大于1的开区间，即不能取到1），所以另一腰长不可能是1。
已知梯形的上底长为2，下底长为4，则下底与上底的差为2。
已知梯形的一腰长为3，在构造的三角形中，第三边（即另一腰）与腰长3满足三边关系。
设另一腰长为$x$，则：$3 - 2 ＜ x ＜ 3 + 2$，即：$1 ＜ x ＜ 5$。
A选项1不在这个范围内（不满足大于1的开区间，即不能取到1），所以另一腰长不可能是1。
(1)将两个形状相同的三角板放置在一张矩形纸片上，按图示画线得到四边形 $ABCD$，则四边形 $ABCD$ 是。
[第 2(1)题]
[第 2(2)题]
[第 2(3)题]
[第 2(1)题]
[第 2(2)题]
[第 2(3)题]
答案
梯形
(2)如图，等腰梯形 $ABCD$ 的周长为 16，$BC = 4$，$CD = 3$，则 $AB =$。
答案
5
解析
因为梯形 $ABCD$ 是等腰梯形，所以两腰相等，即 $AD = BC$。
已知 $BC = 4$，则 $AD = 4$。
等腰梯形的周长为 $AB + BC + CD + DA = 16$，$CD = 3$，$BC = 4$，$AD = 4$，所以：
$AB = 16 - BC - CD - DA = 16 - 4 - 3 - 4 = 5$
已知 $BC = 4$，则 $AD = 4$。
等腰梯形的周长为 $AB + BC + CD + DA = 16$，$CD = 3$，$BC = 4$，$AD = 4$，所以：
$AB = 16 - BC - CD - DA = 16 - 4 - 3 - 4 = 5$
(3)如图，若该图案是由 8 个全等的等腰梯形拼成的，则图中的 $∠ 1=\_\_\_\_\_\_^{\circ}$。
答案
答题卡：
设$∠ 1=x$，
由于图案是由$8$个全等的等腰梯形拼成的，从图形可以看出，图案的最外层为$8$个等腰梯形的上底和下底所构成的正八边形的一部分。
对于正八边形，其内角为：
$\frac{(8 - 2)×190^{\circ}}{8}=135^{\circ}$。
而等腰梯形的一个底角与正八边形的内角相邻，且等腰梯形底角与$∠ 1$的和为$180^{\circ}$，即该等腰梯形的底角为$180^{\circ}-x$。
从正八边形的内角与等腰梯形底角的关系可知$180^{\circ}-x = 135^{\circ}$，
解得$x = 45^{\circ}$。
故答案为$45$。
设$∠ 1=x$，
由于图案是由$8$个全等的等腰梯形拼成的，从图形可以看出，图案的最外层为$8$个等腰梯形的上底和下底所构成的正八边形的一部分。
对于正八边形，其内角为：
$\frac{(8 - 2)×190^{\circ}}{8}=135^{\circ}$。
而等腰梯形的一个底角与正八边形的内角相邻，且等腰梯形底角与$∠ 1$的和为$180^{\circ}$，即该等腰梯形的底角为$180^{\circ}-x$。
从正八边形的内角与等腰梯形底角的关系可知$180^{\circ}-x = 135^{\circ}$，
解得$x = 45^{\circ}$。
故答案为$45$。
(4)直角梯形的一个底角为 $60^{\circ}$，上、下底的长分别是 2 和 3，那么这个梯形的周长为。
答案
过直角梯形上底的一个顶点作下底的垂线，将梯形分为一个矩形和一个含60°角的直角三角形。
下底与上底的差为 $3 - 2 = 1$，即直角三角形的一条直角边为1。
在含60°角的直角三角形中，斜边（梯形斜腰）为 $1 ÷ \cos60° = 1 ÷ 0.5 = 2$，另一直角边（梯形直角腰）为 $2 × \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
周长为 $2 + 3 + \sqrt{3} + 2 = 7 + \sqrt{3}$。
$7 + \sqrt{3}$
下底与上底的差为 $3 - 2 = 1$，即直角三角形的一条直角边为1。
在含60°角的直角三角形中，斜边（梯形斜腰）为 $1 ÷ \cos60° = 1 ÷ 0.5 = 2$，另一直角边（梯形直角腰）为 $2 × \sin60° = 2 × \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$。
周长为 $2 + 3 + \sqrt{3} + 2 = 7 + \sqrt{3}$。
$7 + \sqrt{3}$
