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7. 哥哥与弟弟的年龄和是 18 岁,弟弟对哥哥说:“当我的年龄是你现在年龄的时候,你是 18 岁.”若现在弟弟的年龄是 $x$ 岁,哥哥的年龄是 $y$ 岁,则下列方程组中正确的是 ()
A.$\begin{cases} x=y-18, \\ y-x=18-x \end{cases}$
B.$\begin{cases} y-x=18, \\ x-y=y+18 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=18, \\ y-x=18+y \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=18-x, \\ 18-y=y-x \end{cases}$
A.$\begin{cases} x=y-18, \\ y-x=18-x \end{cases}$
B.$\begin{cases} y-x=18, \\ x-y=y+18 \end{cases}$
C.$\begin{cases} x+y=18, \\ y-x=18+y \end{cases}$
D.$\begin{cases} y=18-x, \\ 18-y=y-x \end{cases}$
答案
D
解析
题目给出两个条件：
1. 哥哥与弟弟的年龄和为 18 岁，即 $x + y = 18$，可以改写为 $y = 18 - x$。
2. 当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄 $y$ 时，哥哥的年龄是 18 岁。
设现在弟弟的年龄为 $x$，哥哥的年龄为 $y$，则两者的年龄差为 $y - x$。
当弟弟的年龄增长到 $y$ 时，即增长了 $y - x$ 岁，此时哥哥的年龄为 $y + (y - x) = 2y - x$。
根据题意，此时哥哥的年龄是 18 岁，因此有：
$2y - x = 18$，
改写为：
$18 - y = y - x$。
结合上述两个方程，得到方程组：
$\begin{cases}y = 18 - x, \\18 - y = y - x.\end{cases}$
1. 哥哥与弟弟的年龄和为 18 岁，即 $x + y = 18$，可以改写为 $y = 18 - x$。
2. 当弟弟的年龄是哥哥现在的年龄 $y$ 时，哥哥的年龄是 18 岁。
设现在弟弟的年龄为 $x$，哥哥的年龄为 $y$，则两者的年龄差为 $y - x$。
当弟弟的年龄增长到 $y$ 时，即增长了 $y - x$ 岁，此时哥哥的年龄为 $y + (y - x) = 2y - x$。
根据题意，此时哥哥的年龄是 18 岁，因此有：
$2y - x = 18$，
改写为：
$18 - y = y - x$。
结合上述两个方程，得到方程组：
$\begin{cases}y = 18 - x, \\18 - y = y - x.\end{cases}$
8. 如图,在三角形三个顶点和中心处的“○”中各填一个式子.若图中任意三个“○”中的式子之和均相等,则 $a$ 的值是 ()
A.1
B.2
C.3
D.0
A.1
B.2
C.3
D.0
答案
A
解析
设中心的式子为$b$，因为三个顶点和中心处的式子之和均相等，
根据题意，可以列出以下方程：
$3-a+b+2=3-a+b+2a$，
$3-a+b+2=2a+b+2$，
化简第一个方程：
$5-a+b=3+2a-a+b$，
$5-a=3+a$，
$2=2a$，
$a=1$，
验证第二个方程：
$5-a=2+2a$，
将$a=1$代入：
$5-1=2+2×1$，
$4=4$，
验证成立。
所以$a$的值为1。
根据题意，可以列出以下方程：
$3-a+b+2=3-a+b+2a$，
$3-a+b+2=2a+b+2$，
化简第一个方程：
$5-a+b=3+2a-a+b$，
$5-a=3+a$，
$2=2a$，
$a=1$，
验证第二个方程：
$5-a=2+2a$，
将$a=1$代入：
$5-1=2+2×1$，
$4=4$，
验证成立。
所以$a$的值为1。
二、填空题(本题共 6 小题,每小题 3 分,共 18 分)
9. 若$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是关于 $x,y$ 的二元一次方程 $mx-2y=4$ 的解,则 $m$ 的值是 ______ .
9. 若$\begin{cases}x=2, \\ y=1\end{cases}$是关于 $x,y$ 的二元一次方程 $mx-2y=4$ 的解,则 $m$ 的值是 ______ .
答案
将$\begin{cases}x = 2,\\y = 1.\end{cases}$代入方程$mx - 2y = 4$中，
得$2m-2×1 = 4$，
即$2m - 2 = 4$，
移项可得$2m=4 + 2$，
即$2m = 6$，
两边同时除以$2$，解得$m = 3$。
故答案为$3$。
得$2m-2×1 = 4$，
即$2m - 2 = 4$，
移项可得$2m=4 + 2$，
即$2m = 6$，
两边同时除以$2$，解得$m = 3$。
故答案为$3$。
10. 已知$\begin{cases}x=2a+5, \\ y=4a-3\end{cases}$则 $x,y$ 的关系是 ______ .
答案
从给定的方程组$\begin{cases}x = 2a + 5, \\y = 4a - 3.\end{cases}$
由$x = 2a + 5$，可以得到：
$2a = x - 5$，
将$4a$表示为$2 × 2a$，即：
$4a = 2(x - 5) = 2x - 10$，
将$4a$的表达式代入$y = 4a - 3$，得到：
$y = 2x - 10 - 3$，
$y = 2x - 13$，
或写为标准形式：
$2x - y = 13$，
故答案为：$2x - y = 13$。
由$x = 2a + 5$，可以得到：
$2a = x - 5$，
将$4a$表示为$2 × 2a$，即：
$4a = 2(x - 5) = 2x - 10$，
将$4a$的表达式代入$y = 4a - 3$，得到：
$y = 2x - 10 - 3$，
$y = 2x - 13$，
或写为标准形式：
$2x - y = 13$，
故答案为：$2x - y = 13$。
11. 写出二元一次方程 $3x+y=15$ 的一组正整数解:.
答案
要找到二元一次方程 $3x + y = 15$ 的一组正整数解，可按以下步骤进行：
1. 用含$x$的式子表示$y$：
$y = 15 - 3x$
2. 确定$x$的取值范围：
因为$x$、$y$均为正整数，所以$x ＞ 0$且$y = 15 - 3x ＞ 0$，即$15 - 3x ＞ 0$，解得$x ＜ 5$。
因此，$x$可取正整数$1$，$2$，$3$，$4$。
3. 任选一个$x$值求$y$：
当$x = 1$时，$y = 15 - 3×1 = 12$。
故一组正整数解为$\begin{cases} x=1 \\ y=12 \end{cases}$（答案不唯一）。
$\begin{cases} x=1 \\ y=12 \end{cases}$
1. 用含$x$的式子表示$y$：
$y = 15 - 3x$
2. 确定$x$的取值范围：
因为$x$、$y$均为正整数，所以$x ＞ 0$且$y = 15 - 3x ＞ 0$，即$15 - 3x ＞ 0$，解得$x ＜ 5$。
因此，$x$可取正整数$1$，$2$，$3$，$4$。
3. 任选一个$x$值求$y$：
当$x = 1$时，$y = 15 - 3×1 = 12$。
故一组正整数解为$\begin{cases} x=1 \\ y=12 \end{cases}$（答案不唯一）。
$\begin{cases} x=1 \\ y=12 \end{cases}$
12. 《张丘建算经》中有这样一题:1 只公鸡值 5 钱,1 只母鸡值 3 钱,3 只小鸡值 1 钱.现花 100 钱买了 100 只鸡.若公鸡有 8 只,设母鸡有 $x$ 只,小鸡有 $y$ 只,则可列方程组为.
答案
$\begin{cases} x + y + 8 = 100 \\ 3x + \dfrac{1}{3}y + 5×8 = 100 \end{cases}$
13. 已知代数式 $x^2+px+q$,当 $x=1$ 时,它的值是 0;当 $x=-1$ 时,它的值是 -4.当 $x=-2$ 时,这个代数式的值是.
答案
当$x=1$时，$1^2 + p×1 + q = 0$，即$1 + p + q = 0$；
当$x=-1$时，$(-1)^2 + p×(-1) + q = -4$，即$1 - p + q = -4$。
联立得方程组：
$\begin{cases}p + q = -1 \\-p + q = -5\end{cases}$
将两式相加：$2q = -6$，解得$q = -3$。
将$q = -3$代入$p + q = -1$，得$p - 3 = -1$，解得$p = 2$。
所以代数式为$x^2 + 2x - 3$。
当$x = -2$时，$(-2)^2 + 2×(-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$。
$-3$
当$x=-1$时，$(-1)^2 + p×(-1) + q = -4$，即$1 - p + q = -4$。
联立得方程组：
$\begin{cases}p + q = -1 \\-p + q = -5\end{cases}$
将两式相加：$2q = -6$，解得$q = -3$。
将$q = -3$代入$p + q = -1$，得$p - 3 = -1$，解得$p = 2$。
所以代数式为$x^2 + 2x - 3$。
当$x = -2$时，$(-2)^2 + 2×(-2) - 3 = 4 - 4 - 3 = -3$。
$-3$
14. 小明去花店为妈妈准备节日礼物,已知康乃馨每枝 2 元,百合每枝 3 元.小明将 30 元钱全部用于购买这两种花(两种花都买),他的购买方案共有种.
答案
设购买康乃馨$x$枝，百合$y$枝，其中$x$，$y$为正整数。
根据题意，得$2x + 3y = 30$，变形为$x = \frac{30 - 3y}{2}$。
因为$x$，$y$为正整数，所以$30 - 3y$必须为正偶数，即$3y$为偶数且$3y ＜ 30$。
$3y$为偶数，则$y$为偶数，设$y = 2k$（$k$为正整数），则$3×2k ＜ 30$，即$k ＜ 5$，$k$可取1，2，3，4。
当$k=1$时，$y=2$，$x = \frac{30 - 3×2}{2}=12$；
当$k=2$时，$y=4$，$x = \frac{30 - 3×4}{2}=9$；
当$k=3$时，$y=6$，$x = \frac{30 - 3×6}{2}=6$；
当$k=4$时，$y=8$，$x = \frac{30 - 3×8}{2}=3$。
共4种方案。
4
根据题意，得$2x + 3y = 30$，变形为$x = \frac{30 - 3y}{2}$。
因为$x$，$y$为正整数，所以$30 - 3y$必须为正偶数，即$3y$为偶数且$3y ＜ 30$。
$3y$为偶数，则$y$为偶数，设$y = 2k$（$k$为正整数），则$3×2k ＜ 30$，即$k ＜ 5$，$k$可取1，2，3，4。
当$k=1$时，$y=2$，$x = \frac{30 - 3×2}{2}=12$；
当$k=2$时，$y=4$，$x = \frac{30 - 3×4}{2}=9$；
当$k=3$时，$y=6$，$x = \frac{30 - 3×6}{2}=6$；
当$k=4$时，$y=8$，$x = \frac{30 - 3×8}{2}=3$。
共4种方案。
4
