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4. 计算：
（1）$ \sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{6} $；
（2）$ (\sqrt{48} - \sqrt{27}) ÷ \sqrt{6} $；
（3）$ (\sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}) × \sqrt{3} - \sqrt{15} × \sqrt{3} $；
（4）$ (\sqrt{7} + 2)^{2} - (\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3) $.
（1）$ \sqrt{2}(\sqrt{2} - \sqrt{3}) + \sqrt{6} $；
（2）$ (\sqrt{48} - \sqrt{27}) ÷ \sqrt{6} $；
（3）$ (\sqrt{27} + \sqrt{\dfrac{1}{3}}) × \sqrt{3} - \sqrt{15} × \sqrt{3} $；
（4）$ (\sqrt{7} + 2)^{2} - (\sqrt{7} + 3)(\sqrt{7} - 3) $.
答案
4. 解：(1)2. (2)$\frac{\sqrt{2}}{2}$. (3)$10-3\sqrt{5}$.
(4)$13+4\sqrt{7}$.
(4)$13+4\sqrt{7}$.
解析
【解析】
（1）原式$=\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{2}×\sqrt{3}+\sqrt{6}$
$=2-\sqrt{6}+\sqrt{6}$
$=2$
（2）原式$=(4\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷\sqrt{6}$
$=\sqrt{3}÷\sqrt{6}$
$=\sqrt{\frac{3}{6}}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}$
（3）原式$=\sqrt{27}×\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{3}-\sqrt{15×3}$
$=\sqrt{81}+\sqrt{1}-\sqrt{45}$
$=9+1-3\sqrt{5}$
$=10-3\sqrt{5}$
（4）原式$=(\sqrt{7})^2+2×\sqrt{7}×2+2^2-[(\sqrt{7})^2-3^2]$
$=7+4\sqrt{7}+4-(7-9)$
$=11+4\sqrt{7}-(-2)$
$=13+4\sqrt{7}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$；（3）$\boldsymbol{10-3\sqrt{5}}$；（4）$\boldsymbol{13+4\sqrt{7}}$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的运算法则，灵活运用乘法分配律、平方差公式及完全平方公式简化运算，运算时注意先化简二次根式，再按运算顺序计算，确保结果为最简形式。
【难度系数】
0.7
（1）原式$=\sqrt{2}×\sqrt{2}-\sqrt{2}×\sqrt{3}+\sqrt{6}$
$=2-\sqrt{6}+\sqrt{6}$
$=2$
（2）原式$=(4\sqrt{3}-3\sqrt{3})÷\sqrt{6}$
$=\sqrt{3}÷\sqrt{6}$
$=\sqrt{\frac{3}{6}}$
$=\frac{\sqrt{2}}{2}$
（3）原式$=\sqrt{27}×\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}×\sqrt{3}-\sqrt{15×3}$
$=\sqrt{81}+\sqrt{1}-\sqrt{45}$
$=9+1-3\sqrt{5}$
$=10-3\sqrt{5}$
（4）原式$=(\sqrt{7})^2+2×\sqrt{7}×2+2^2-[(\sqrt{7})^2-3^2]$
$=7+4\sqrt{7}+4-(7-9)$
$=11+4\sqrt{7}-(-2)$
$=13+4\sqrt{7}$
【答案】
（1）$\boldsymbol{2}$；（2）$\boldsymbol{\dfrac{\sqrt{2}}{2}}$；（3）$\boldsymbol{10-3\sqrt{5}}$；（4）$\boldsymbol{13+4\sqrt{7}}$
【知识点】
二次根式混合运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
本题考查二次根式的混合运算，需熟练掌握二次根式的运算法则，灵活运用乘法分配律、平方差公式及完全平方公式简化运算，运算时注意先化简二次根式，再按运算顺序计算，确保结果为最简形式。
【难度系数】
0.7
1. 下列各组二次根式可以合并的是(
A.$ \sqrt{3} $ 与 $ \sqrt{30} $
B.$ \sqrt{5} $ 与 $ \sqrt{45} $
C.$ \sqrt{2} $ 与 $ \sqrt{24} $
D.$ \sqrt{8} $ 与 $ \sqrt{28} $
B
)A.$ \sqrt{3} $ 与 $ \sqrt{30} $
B.$ \sqrt{5} $ 与 $ \sqrt{45} $
C.$ \sqrt{2} $ 与 $ \sqrt{24} $
D.$ \sqrt{8} $ 与 $ \sqrt{28} $
答案
1. B
解析
【解析】
要判断二次根式能否合并，需先将其化为最简二次根式，若被开方数相同，则为同类二次根式，可合并。
选项A：$\sqrt{3}$与$\sqrt{30}$均为最简二次根式，被开方数3≠30，不是同类二次根式，不能合并；
选项B：$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，与$\sqrt{5}$的被开方数相同，是同类二次根式，可以合并；
选项C：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，与$\sqrt{2}$的被开方数2≠6，不是同类二次根式，不能合并；
选项D：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，被开方数2≠7，不是同类二次根式，不能合并。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式、二次根式的化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，核心是先将二次根式化为最简形式，再通过比较被开方数是否相同来确定能否合并，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
要判断二次根式能否合并，需先将其化为最简二次根式，若被开方数相同，则为同类二次根式，可合并。
选项A：$\sqrt{3}$与$\sqrt{30}$均为最简二次根式，被开方数3≠30，不是同类二次根式，不能合并；
选项B：$\sqrt{45}=3\sqrt{5}$，与$\sqrt{5}$的被开方数相同，是同类二次根式，可以合并；
选项C：$\sqrt{24}=2\sqrt{6}$，与$\sqrt{2}$的被开方数2≠6，不是同类二次根式，不能合并；
选项D：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{28}=2\sqrt{7}$，被开方数2≠7，不是同类二次根式，不能合并。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
同类二次根式、二次根式的化简
【点评】
本题考查同类二次根式的判断，核心是先将二次根式化为最简形式，再通过比较被开方数是否相同来确定能否合并，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
2. 下列计算结果正确的是(
A.$ \sqrt{8} - \sqrt{6} = \sqrt{8 - 6} $
B.$ \sqrt{9} + \sqrt{4} = \sqrt{9 + 4} $
C.$ 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2 $
D.$ 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = -2\sqrt{3} $
D
)A.$ \sqrt{8} - \sqrt{6} = \sqrt{8 - 6} $
B.$ \sqrt{9} + \sqrt{4} = \sqrt{9 + 4} $
C.$ 3\sqrt{5} - \sqrt{5} = 2 $
D.$ 2\sqrt{3} - 4\sqrt{3} = -2\sqrt{3} $
答案
2. D
解析
【解析】
分别对每个选项进行计算判断：
选项A：$\sqrt{8}-\sqrt{6}=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$，二次根式不是同类二次根式不能直接将被开方数相减，故A错误；
选项B：$\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$，而$\sqrt{9+4}=\sqrt{13}≠5$，故B错误；
选项C：$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=(3-1)\sqrt{5}=2\sqrt{5}≠2$，故C错误；
选项D：$2\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(2-4)\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数和根指数保持不变，非同类二次根式不能直接对被开方数进行加减运算。
【难度系数】
0.7
分别对每个选项进行计算判断：
选项A：$\sqrt{8}-\sqrt{6}=2\sqrt{2}-\sqrt{6}$，二次根式不是同类二次根式不能直接将被开方数相减，故A错误；
选项B：$\sqrt{9}+\sqrt{4}=3+2=5$，而$\sqrt{9+4}=\sqrt{13}≠5$，故B错误；
选项C：$3\sqrt{5}-\sqrt{5}=(3-1)\sqrt{5}=2\sqrt{5}≠2$，故C错误；
选项D：$2\sqrt{3}-4\sqrt{3}=(2-4)\sqrt{3}=-2\sqrt{3}$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的加减运算
【点评】
本题考查二次根式的加减运算，同类二次根式才能合并，合并时仅将系数相加减，被开方数和根指数保持不变，非同类二次根式不能直接对被开方数进行加减运算。
【难度系数】
0.7
3. 下列计算正确的是(
A.$ \sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6} $
B.$ \dfrac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 1 $
C.$ (2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5}) = 1 $
D.$ \dfrac{6 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} - 1 $
D
)A.$ \sqrt{8} - \sqrt{2} = \sqrt{6} $
B.$ \dfrac{\sqrt{27} - \sqrt{12}}{3} = \sqrt{9} - \sqrt{4} = 1 $
C.$ (2 - \sqrt{5})(2 + \sqrt{5}) = 1 $
D.$ \dfrac{6 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 3\sqrt{2} - 1 $
答案
3. D
解析
【解析】
逐一分析各选项：
选项A：$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{6}$，计算错误；
选项B：$\dfrac{\sqrt{27}-\sqrt{12}}{3}=\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}≠1$，原计算错误拆分根式，结果错误；
选项C：$(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1≠1$，计算错误；
选项D：$\dfrac{6-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}-1$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算、平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的加减、乘除及混合运算，需熟练掌握二次根式的化简方法及运算法则，注意避免运算中错误拆分根式、公式误用等问题。
【难度系数】
0.7
逐一分析各选项：
选项A：$\sqrt{8}-\sqrt{2}=2\sqrt{2}-\sqrt{2}=\sqrt{2}≠\sqrt{6}$，计算错误；
选项B：$\dfrac{\sqrt{27}-\sqrt{12}}{3}=\dfrac{3\sqrt{3}-2\sqrt{3}}{3}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}≠1$，原计算错误拆分根式，结果错误；
选项C：$(2-\sqrt{5})(2+\sqrt{5})=2^2-(\sqrt{5})^2=4-5=-1≠1$，计算错误；
选项D：$\dfrac{6-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}-\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}-1$，计算正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的运算、平方差公式
【点评】
本题考查二次根式的加减、乘除及混合运算，需熟练掌握二次根式的化简方法及运算法则，注意避免运算中错误拆分根式、公式误用等问题。
【难度系数】
0.7
4. 设 $ M = (\sqrt{\dfrac{1}{ab}} - \sqrt{\dfrac{a}{b}}) · \sqrt{ab} $，其中 $ a = 3 $，$ b = 2 $，则 $ M $ 的值为(
A.2
B.-2
C.1
D.-1
B
)A.2
B.-2
C.1
D.-1
答案
4. B
解析
【解析】
先化简原式：
$\begin{aligned}M&=(\sqrt{\dfrac{1}{ab}} - \sqrt{\dfrac{a}{b}})·\sqrt{ab}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{ab}}·\sqrt{ab}-\sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{ab}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{ab}·ab}-\sqrt{\dfrac{a}{b}·ab}\\&=1 - \sqrt{a^2}\\&=1 - |a|\end{aligned}$
将$a=3$代入得：$M=1 - 3=-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的混合运算、代数式求值
【点评】
本题考查二次根式的混合运算与代数式求值，先利用二次根式乘法法则化简原式可简化计算，注意二次根式化简时的非负性。
【难度系数】
0.7
先化简原式：
$\begin{aligned}M&=(\sqrt{\dfrac{1}{ab}} - \sqrt{\dfrac{a}{b}})·\sqrt{ab}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{ab}}·\sqrt{ab}-\sqrt{\dfrac{a}{b}}·\sqrt{ab}\\&=\sqrt{\dfrac{1}{ab}·ab}-\sqrt{\dfrac{a}{b}·ab}\\&=1 - \sqrt{a^2}\\&=1 - |a|\end{aligned}$
将$a=3$代入得：$M=1 - 3=-2$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式的混合运算、代数式求值
【点评】
本题考查二次根式的混合运算与代数式求值，先利用二次根式乘法法则化简原式可简化计算，注意二次根式化简时的非负性。
【难度系数】
0.7
5. 若最简二次根式 $ \sqrt{2x - 1} $ 与 $ \sqrt{8} $ 可以合并，则 $ x = $
$\frac{3}{2}$
.答案
5.$\frac{3}{2}$
解析
【解析】
先将$\sqrt{8}$化为最简二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
因为最简二次根式$\sqrt{2x - 1}$与$\sqrt{8}$可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，由此可得方程：
$2x - 1 = 2$
解方程：
$2x = 2 + 1$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
同类二次根式、最简二次根式、解一元一次方程
【点评】
本题考查同类二次根式的概念，解题关键是先将非最简二次根式化为最简形式，再根据同类二次根式被开方数相同建立方程求解。
【难度系数】
0.6
先将$\sqrt{8}$化为最简二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$。
因为最简二次根式$\sqrt{2x - 1}$与$\sqrt{8}$可以合并，说明它们是同类二次根式，即被开方数相同，由此可得方程：
$2x - 1 = 2$
解方程：
$2x = 2 + 1$
$2x = 3$
$x = \frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
同类二次根式、最简二次根式、解一元一次方程
【点评】
本题考查同类二次根式的概念，解题关键是先将非最简二次根式化为最简形式，再根据同类二次根式被开方数相同建立方程求解。
【难度系数】
0.6
6. 有一块长方形木板，木工采用如图所示的方式，在木板上截出两块面积分别为 $ 18 \mathrm{dm}^2 $ 和 $ 32 \mathrm{dm}^2 $ 的正方形木板.
（1）求剩余木板的面积.
（2）如果木工想从剩余的木板中截出长为 $ 1.5 \mathrm{dm} $、宽为 $ 1 \mathrm{dm} $ 的长方形木板，最多能截出多少块这样的木板？
（1）求剩余木板的面积.
（2）如果木工想从剩余的木板中截出长为 $ 1.5 \mathrm{dm} $、宽为 $ 1 \mathrm{dm} $ 的长方形木板，最多能截出多少块这样的木板？
答案
6. 解：(1)剩余木板的面积为$6dm^{2}$.
(2)最多能截出2块这样的木板.
(2)最多能截出2块这样的木板.
解析
【解析】
(1) 先计算两个正方形的边长：
面积为$18\mathrm{dm}^2$的正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\mathrm{dm}$，
面积为$32\mathrm{dm}^2$的正方形边长为$\sqrt{32}=4\sqrt{2}\mathrm{dm}$。
剩余木板为长方形，其长为$3\sqrt{2}\mathrm{dm}$，宽为$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}\mathrm{dm}$，
则剩余木板的面积为$3\sqrt{2} × \sqrt{2}=6\mathrm{dm}^2$。
(2) 估算$\sqrt{2}\approx1.414$，可得剩余木板的长$3\sqrt{2}\approx4.242\mathrm{dm}$，宽$\sqrt{2}\approx1.414\mathrm{dm}$。
对于长为$1.5\mathrm{dm}$、宽为$1\mathrm{dm}$的长方形：
沿剩余木板的长方向，$4.242÷1.5\approx2.828$，最多可放置2个；
沿剩余木板的宽方向，$1.414÷1\approx1.414$，最多可放置1个；
调整摆放方向无法增加数量，因此最多能截出$2×1=2$块。
【答案】
(1) 剩余木板的面积为$\boldsymbol{6\mathrm{dm}^2}$
(2) 最多能截出$\boldsymbol{2}$块这样的木板
【知识点】
正方形边长与面积关系、二次根式运算、无理数估算
【点评】
本题结合图形考查正方形与长方形的面积计算，涉及二次根式运算和无理数估算，需准确分析剩余木板的尺寸来求解。
【难度系数】
0.4
(1) 先计算两个正方形的边长：
面积为$18\mathrm{dm}^2$的正方形边长为$\sqrt{18}=3\sqrt{2}\mathrm{dm}$，
面积为$32\mathrm{dm}^2$的正方形边长为$\sqrt{32}=4\sqrt{2}\mathrm{dm}$。
剩余木板为长方形，其长为$3\sqrt{2}\mathrm{dm}$，宽为$4\sqrt{2}-3\sqrt{2}=\sqrt{2}\mathrm{dm}$，
则剩余木板的面积为$3\sqrt{2} × \sqrt{2}=6\mathrm{dm}^2$。
(2) 估算$\sqrt{2}\approx1.414$，可得剩余木板的长$3\sqrt{2}\approx4.242\mathrm{dm}$，宽$\sqrt{2}\approx1.414\mathrm{dm}$。
对于长为$1.5\mathrm{dm}$、宽为$1\mathrm{dm}$的长方形：
沿剩余木板的长方向，$4.242÷1.5\approx2.828$，最多可放置2个；
沿剩余木板的宽方向，$1.414÷1\approx1.414$，最多可放置1个；
调整摆放方向无法增加数量，因此最多能截出$2×1=2$块。
【答案】
(1) 剩余木板的面积为$\boldsymbol{6\mathrm{dm}^2}$
(2) 最多能截出$\boldsymbol{2}$块这样的木板
【知识点】
正方形边长与面积关系、二次根式运算、无理数估算
【点评】
本题结合图形考查正方形与长方形的面积计算，涉及二次根式运算和无理数估算，需准确分析剩余木板的尺寸来求解。
【难度系数】
0.4
