登录
【例1】一水箱中有水500L，现在往外放水，每分钟放水50L，请用三种不同的方法表示水箱中剩余水量y（单位：L）与放水时间t（单位：min）的对应关系.
解：
【规律方法】
函数三种表示方法的选用技巧
（1）列表法：需要直接用部分函数值表达函数关系时选用列表法.
（2）图象法：需要明显表现函数变化趋势时选用图象法.
（3）解析法：需要明显表现自变量与函数的对应规律时选用解析法.
解：
【规律方法】
函数三种表示方法的选用技巧
（1）列表法：需要直接用部分函数值表达函数关系时选用列表法.
（2）图象法：需要明显表现函数变化趋势时选用图象法.
（3）解析法：需要明显表现自变量与函数的对应规律时选用解析法.
答案
【例1】解:(1)解析法:函数解析式为$y=500-50t(0≤ t≤ 10)$.
(2)列表法:
(3)图象法:图象如图所示.
解析
【解析】
1. 解析法：根据剩余水量=总水量-放出水量，总水量为500L，每分钟放水50L，可得$y=500-50t$；当剩余水量为0时，$t=10$，因此自变量$t$的取值范围是$0≤ t≤ 10$，即解析式为$y=500-50t(0≤ t≤ 10)$；
2. 列表法：选取$t$从0到10的整数值，分别计算对应的剩余水量$y$，列出对应表格；
3. 图象法：以放水时间$t$为横轴，剩余水量$y$为纵轴，在平面直角坐标系中画出以$(0,500)$和$(10,0)$为端点的线段（$t$的取值范围为$0≤t≤10$）。
【答案】
(1)解析法：$y=500-50t(0≤ t≤ 10)$；
(2)列表法：
|t/min|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|y/L|500|450|400|350|300|250|200|150|100|50|0|
(3)图象法：在平面直角坐标系中，绘制以$(0,500)$和$(10,0)$为端点的线段（横轴为$t/min$，纵轴为$y/L$）。
【知识点】
函数的三种表示方法，一次函数实际应用
【点评】
本题考查函数三种表示方法在实际问题中的应用，需结合实际情境确定自变量的取值范围，理解每种表示方法的特点，掌握三种方法的应用，为后续函数的学习奠定基础。
【难度系数】
0.8
1. 解析法：根据剩余水量=总水量-放出水量，总水量为500L，每分钟放水50L，可得$y=500-50t$；当剩余水量为0时，$t=10$，因此自变量$t$的取值范围是$0≤ t≤ 10$，即解析式为$y=500-50t(0≤ t≤ 10)$；
2. 列表法：选取$t$从0到10的整数值，分别计算对应的剩余水量$y$，列出对应表格；
3. 图象法：以放水时间$t$为横轴，剩余水量$y$为纵轴，在平面直角坐标系中画出以$(0,500)$和$(10,0)$为端点的线段（$t$的取值范围为$0≤t≤10$）。
【答案】
(1)解析法：$y=500-50t(0≤ t≤ 10)$；
(2)列表法：
|t/min|0|1|2|3|4|5|6|7|8|9|10|
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
|y/L|500|450|400|350|300|250|200|150|100|50|0|
(3)图象法：在平面直角坐标系中，绘制以$(0,500)$和$(10,0)$为端点的线段（横轴为$t/min$，纵轴为$y/L$）。
【知识点】
函数的三种表示方法，一次函数实际应用
【点评】
本题考查函数三种表示方法在实际问题中的应用，需结合实际情境确定自变量的取值范围，理解每种表示方法的特点，掌握三种方法的应用，为后续函数的学习奠定基础。
【难度系数】
0.8
变式训练
1. 一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，试用不同的方法表示汽车行驶距离s（单位：km）与行驶时间t（单位：h）之间的函数关系.
2. 声音在空气中的传播速度v（单位：m/s）与温度T（单位：℃）的关系如下表：
（1）写出速度v（单位：m/s）与温度T（单位：℃）之间的关系式；
（2）当T=2.5℃时，求声音的传播速度.
1. 一辆汽车以60km/h的速度匀速行驶，试用不同的方法表示汽车行驶距离s（单位：km）与行驶时间t（单位：h）之间的函数关系.
2. 声音在空气中的传播速度v（单位：m/s）与温度T（单位：℃）的关系如下表：
（1）写出速度v（单位：m/s）与温度T（单位：℃）之间的关系式；
（2）当T=2.5℃时，求声音的传播速度.
答案
变式训练
1.解:由题意,得s与t的函数解析式为$s=60t$.
列表如下:
描点、连线,画出s与t的函数关系图象如图所示.
2.解:(1)$v=331+0.6T$.
(2)当$T=2.5°C$时,声音的传播速度为332.5m/s.
解析
【解析】
1. 汽车行驶距离$s$与行驶时间$t$的函数关系
① 解析式法：
根据“路程=速度×时间”，得函数解析式为$\boldsymbol{s=60t(t≥0)}$。
② 列表法：
选取$t$的取值，计算对应$s$的值，列表如下：
|$t/h$|0|1|2|3|4|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|$s/km$|0|60|120|180|240|…|
③ 图象法：
以$t$为横轴，$s$为纵轴，在平面直角坐标系中描出上表中的点，用直线连接这些点，得到的射线（$t≥0$）即为该函数的图象。
2. 声音传播速度$v$与温度$T$的关系
（1）观察表格可知，温度每升高$1℃$，速度增加$0.6m/s$，由此得关系式：
$\boldsymbol{v=331+0.6T}$
（2）将$T=2.5℃$代入$v=331+0.6T$：
$v=331+0.6×2.5=332.5(m/s)$
【答案】
1. ①解析式法：$\boldsymbol{s=60t(t≥0)}$；②列表法：见解析中的表格；③图象法：见解析中的图象描述。
2. （1）$\boldsymbol{v=331+0.6T}$；（2）$\boldsymbol{332.5m/s}$
【知识点】
一次函数的表示方法
一次函数的解析式推导
一次函数的代入求值
【点评】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，涵盖了一次函数的多种表示形式，强化了函数与实际情境的结合，提升了对函数概念的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
1. 汽车行驶距离$s$与行驶时间$t$的函数关系
① 解析式法：
根据“路程=速度×时间”，得函数解析式为$\boldsymbol{s=60t(t≥0)}$。
② 列表法：
选取$t$的取值，计算对应$s$的值，列表如下：
|$t/h$|0|1|2|3|4|…|
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
|$s/km$|0|60|120|180|240|…|
③ 图象法：
以$t$为横轴，$s$为纵轴，在平面直角坐标系中描出上表中的点，用直线连接这些点，得到的射线（$t≥0$）即为该函数的图象。
2. 声音传播速度$v$与温度$T$的关系
（1）观察表格可知，温度每升高$1℃$，速度增加$0.6m/s$，由此得关系式：
$\boldsymbol{v=331+0.6T}$
（2）将$T=2.5℃$代入$v=331+0.6T$：
$v=331+0.6×2.5=332.5(m/s)$
【答案】
1. ①解析式法：$\boldsymbol{s=60t(t≥0)}$；②列表法：见解析中的表格；③图象法：见解析中的图象描述。
2. （1）$\boldsymbol{v=331+0.6T}$；（2）$\boldsymbol{332.5m/s}$
【知识点】
一次函数的表示方法
一次函数的解析式推导
一次函数的代入求值
【点评】
本题考查一次函数在实际问题中的应用，涵盖了一次函数的多种表示形式，强化了函数与实际情境的结合，提升了对函数概念的理解与应用能力。
【难度系数】
0.7
【例2】研究发现，地表以下岩层的温度T与它所处的深度h的函数关系如图所示.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上图反映了哪两个变量之间的关系？
（2）岩层的深度h每增加1km，温度T是怎样变化的？你能用函数解析式表示h与T之间的关系吗？
（3）估计岩层10km深处的温度.
解：
【规律方法】
用函数知识解决实际问题的步骤
（1）理解题意，注意问题中变量之间的数量关系.
（2）观察图象，特别注意图象中的常量、变量以及两坐标轴表示的意义等.
（3）对信息进行处理，解决问题.
根据以上信息，回答下列问题：
（1）上图反映了哪两个变量之间的关系？
（2）岩层的深度h每增加1km，温度T是怎样变化的？你能用函数解析式表示h与T之间的关系吗？
（3）估计岩层10km深处的温度.
解：
【规律方法】
用函数知识解决实际问题的步骤
（1）理解题意，注意问题中变量之间的数量关系.
（2）观察图象，特别注意图象中的常量、变量以及两坐标轴表示的意义等.
（3）对信息进行处理，解决问题.
答案
【例2】解:(1)反映了岩层的深度h(单位:km)与岩层的温度T(单位:$°C$)之间的关系.
(2)岩层的深度h每增加1km,温度T上升$35°C$.函数解析式:$T=35h+20$.
(3)估计岩层10km深处的温度是$370°C$.
(2)岩层的深度h每增加1km,温度T上升$35°C$.函数解析式:$T=35h+20$.
(3)估计岩层10km深处的温度是$370°C$.
解析
【解析】
（1）观察图象横纵坐标，可知反映了岩层的深度$h$（单位：km）与岩层的温度$T$（单位：$°C$）之间的关系。
（2）由图象可知，当$h=0$时，$T=20°C$；当$h=2km$时，$T=90°C$。
深度增加$2km$时，温度上升$90-20=70°C$，则每增加$1km$，温度上升$70÷2=35°C$。
设函数解析式为$T=kh+b$，将$(0,20)$和$(2,90)$代入解析式：
$\begin{cases}b=20\\2k+20=90\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=35\\b=20\end{cases}$
所以函数解析式为$T=35h+20$。
（3）将$h=10$代入$T=35h+20$，得：
$T=35×10+20=370(°C)$
【答案】
（1）岩层的深度$h$（单位：km）与岩层的温度$T$（单位：$°C$）之间的关系。
（2）岩层的深度$h$每增加1km，温度$T$上升$35°C$，函数解析式为$T=35h+20$。
（3）$370°C$
【知识点】
一次函数实际应用；待定系数法求一次函数解析式；函数图象识别
【点评】
本题借助函数图象考查一次函数的实际应用，通过图象获取变量间的关系，利用待定系数法求出函数解析式，进而解决实际问题，体现了函数与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
（1）观察图象横纵坐标，可知反映了岩层的深度$h$（单位：km）与岩层的温度$T$（单位：$°C$）之间的关系。
（2）由图象可知，当$h=0$时，$T=20°C$；当$h=2km$时，$T=90°C$。
深度增加$2km$时，温度上升$90-20=70°C$，则每增加$1km$，温度上升$70÷2=35°C$。
设函数解析式为$T=kh+b$，将$(0,20)$和$(2,90)$代入解析式：
$\begin{cases}b=20\\2k+20=90\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=35\\b=20\end{cases}$
所以函数解析式为$T=35h+20$。
（3）将$h=10$代入$T=35h+20$，得：
$T=35×10+20=370(°C)$
【答案】
（1）岩层的深度$h$（单位：km）与岩层的温度$T$（单位：$°C$）之间的关系。
（2）岩层的深度$h$每增加1km，温度$T$上升$35°C$，函数解析式为$T=35h+20$。
（3）$370°C$
【知识点】
一次函数实际应用；待定系数法求一次函数解析式；函数图象识别
【点评】
本题借助函数图象考查一次函数的实际应用，通过图象获取变量间的关系，利用待定系数法求出函数解析式，进而解决实际问题，体现了函数与实际生活的紧密联系。
【难度系数】
0.7
