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23. (12分)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现了一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如$3 + 2\sqrt{2} = (1 + \sqrt{2})^{2}$，善于思考的小明进行了以下探索：
设$a + b\sqrt{2} = (m + n\sqrt{2})^{2}$(其中$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数)，则有$a + b\sqrt{2} = m^{2} + 2n^{2} + 2mn\sqrt{2}$，
$\therefore a = m^{2} + 2n^{2}$，$b = 2mn$.
这样小明就找到了一种把部分形如$a + b\sqrt{2}$的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解答下列问题.
(1)当$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数时，若$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$，用含$m$，$n$的式子分别表示$a$，$b$，得$a =$
(2)利用所探索的结论，找一组正整数$a$，$b$，$m$，$n$，填空：
(3)若$a + 4\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，求$a$的值.
设$a + b\sqrt{2} = (m + n\sqrt{2})^{2}$(其中$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数)，则有$a + b\sqrt{2} = m^{2} + 2n^{2} + 2mn\sqrt{2}$，
$\therefore a = m^{2} + 2n^{2}$，$b = 2mn$.
这样小明就找到了一种把部分形如$a + b\sqrt{2}$的式子化为完全平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解答下列问题.
(1)当$a$，$b$，$m$，$n$均为正整数时，若$a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$，用含$m$，$n$的式子分别表示$a$，$b$，得$a =$
$ m^2 + 3n^2 $
，$b =$$ 2mn $
.(2)利用所探索的结论，找一组正整数$a$，$b$，$m$，$n$，填空：
13
$+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3} =$(1
$+\_\_\_\_\_\_\sqrt{3})^{2}$.(3)若$a + 4\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^{2}$，且$a$，$m$，$n$均为正整数，求$a$的值.
答案
23. 解: (1) $ \because a + b\sqrt{3} = (m + n\sqrt{3})^2 $,
$ \therefore a + b\sqrt{3} = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3} $,
$ \therefore a = m^2 + 3n^2 $, $ b = 2mn $.
故两个空应分别填 $ m^2 + 3n^2 $, $ 2mn $.
(2) 13 4 1 2 (答案不唯一)
(3) 由题意, 得 $ a = m^2 + 3n^2 $, $ 4 = 2mn $.
$ \because 4 = 2mn $, 且 $ m $, $ n $ 为正整数,
$ \therefore m = 2 $, $ n = 1 $ 或 $ m = 1 $, $ n = 2 $,
$ \therefore a = 2^2 + 3 × 1^2 = 7 $ 或 $ a = 1^2 + 3 × 2^2 = 13 $,
$ \therefore a $ 的值为 7 或 13.
$ \therefore a + b\sqrt{3} = m^2 + 3n^2 + 2mn\sqrt{3} $,
$ \therefore a = m^2 + 3n^2 $, $ b = 2mn $.
故两个空应分别填 $ m^2 + 3n^2 $, $ 2mn $.
(2) 13 4 1 2 (答案不唯一)
(3) 由题意, 得 $ a = m^2 + 3n^2 $, $ 4 = 2mn $.
$ \because 4 = 2mn $, 且 $ m $, $ n $ 为正整数,
$ \therefore m = 2 $, $ n = 1 $ 或 $ m = 1 $, $ n = 2 $,
$ \therefore a = 2^2 + 3 × 1^2 = 7 $ 或 $ a = 1^2 + 3 × 2^2 = 13 $,
$ \therefore a $ 的值为 7 或 13.
24. （14分）观察下列各式及验证过程：
$\sqrt{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；
$\sqrt{\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4})} = \dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}}$；
$\sqrt{\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5})} = \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
验证：$\sqrt{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{1}{2 × 3}} = \sqrt{\dfrac{2}{2^{2} × 3}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；
$\sqrt{\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4})} = \sqrt{\dfrac{1}{2 × 3 × 4}} = \sqrt{\dfrac{3}{2 × 3^{2} × 4}} = \dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}}$；
$\sqrt{\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5})} = \sqrt{\dfrac{1}{3 × 4 × 5}} = \sqrt{\dfrac{4}{3 × 4^{2} × 5}} = \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
（1）按照上述等式及验证过程的基本思路，猜想$\sqrt{\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6})}$的变形结果，并进行验证.
（2）针对上述各式反映的规律，写出用$n(n ≥ 1$，且$n$为整数）表示的等式，并进行验证.
$\sqrt{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；
$\sqrt{\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4})} = \dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}}$；
$\sqrt{\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5})} = \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
验证：$\sqrt{\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3}} = \sqrt{\dfrac{1}{2 × 3}} = \sqrt{\dfrac{2}{2^{2} × 3}} = \dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2}{3}}$；
$\sqrt{\dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4})} = \sqrt{\dfrac{1}{2 × 3 × 4}} = \sqrt{\dfrac{3}{2 × 3^{2} × 4}} = \dfrac{1}{3}\sqrt{\dfrac{3}{8}}$；
$\sqrt{\dfrac{1}{3}(\dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{5})} = \sqrt{\dfrac{1}{3 × 4 × 5}} = \sqrt{\dfrac{4}{3 × 4^{2} × 5}} = \dfrac{1}{4}\sqrt{\dfrac{4}{15}}$.
（1）按照上述等式及验证过程的基本思路，猜想$\sqrt{\dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{5} - \dfrac{1}{6})}$的变形结果，并进行验证.
（2）针对上述各式反映的规律，写出用$n(n ≥ 1$，且$n$为整数）表示的等式，并进行验证.
答案
24. 解: (1) $ \sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5} - \frac{1}{6})} = \frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}} $.
验证: $ \sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5} - \frac{1}{6})} = \sqrt{\frac{1}{4 × 5 × 6}} = \sqrt{\frac{5}{4 × 5^2 × 6}} = \frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}} $.
(2) $ \sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} = \frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}} $.
验证: $ \sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} = \sqrt{\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}} = \sqrt{\frac{n + 1}{(n + 1)^2 · n(n + 2)}} = \frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}} $.
验证: $ \sqrt{\frac{1}{4}(\frac{1}{5} - \frac{1}{6})} = \sqrt{\frac{1}{4 × 5 × 6}} = \sqrt{\frac{5}{4 × 5^2 × 6}} = \frac{1}{5}\sqrt{\frac{5}{24}} $.
(2) $ \sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} = \frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}} $.
验证: $ \sqrt{\frac{1}{n}(\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2})} = \sqrt{\frac{1}{n(n + 1)(n + 2)}} = \sqrt{\frac{n + 1}{(n + 1)^2 · n(n + 2)}} = \frac{1}{n + 1}\sqrt{\frac{n + 1}{n(n + 2)}} $.
