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9. 如图,已知 $ AB = AC $,$ AD = AE $,$ DE = BC $,且 $ ∠ BAD = ∠ CAE $,求证:四边形 $ BCDE $ 为矩形.
答案
9. 证明: $\because ∠ BAD = ∠ CAE$, $\therefore ∠ BAE = ∠ CAD$. 又 $AB = AC$, $AE = AD$, $\therefore △ ABE ≌ △ ACD (SAS)$, $\therefore BE = CD$. 又 $DE = BC$,
$\therefore EB // CD$,
$\therefore ∠ EBC + ∠ DCB = 180°$. $\because AB = AC$,
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB$. $\because △ ABE ≌ △ ACD$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ ACD$,
$\therefore ∠ EBC = ∠ DCB = 90°$, $\therefore$ 平行四边形 $BCDE$ 为矩形.
$\therefore EB // CD$,
$\therefore ∠ EBC + ∠ DCB = 180°$. $\because AB = AC$,
$\therefore ∠ ABC = ∠ ACB$. $\because △ ABE ≌ △ ACD$,
$\therefore ∠ ABE = ∠ ACD$,
$\therefore ∠ EBC = ∠ DCB = 90°$, $\therefore$ 平行四边形 $BCDE$ 为矩形.
10. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,已知 $ ∠ BCD = ∠ ADC = 90° $,若添加下列条件中的一个:① $ ∠ DAC = 90° $;② $ ∠ CBA = 90° $;③ $ AB // CD $;④ $ AC = BD $,使得四边形 $ ABCD $ 是矩形,则可以添加的有(
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
B
)A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
10. B
11. 如图,在 $ △ ABC $ 中,$ AB = AC $,点 $ D $ 为 $ BC $ 的中点,$ AE $ 是 $ △ BAC $ 的外角的平分线,$ DE // AB $ 交 $ AE $ 于 $ E $,则四边形 $ ADCE $ 的形状是
矩形
.答案
11. 矩形
12. 如图,在 $ □ ABCD $ 中,$ O $ 为 $ AB $ 边的中点,且 $ ∠ AOD = ∠ BOC $,求证:四边形 $ ABCD $ 为矩形.
答案
12. 证明: $\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形,
$\therefore AD // BC$, $AB = BC$. $\because O$ 为 $AB$ 中点,
$\therefore AO = BO$. 又 $∠ AOD = ∠ BOC$,
$\therefore ∠ ODC = ∠ OCD$, $\therefore OD = OC$,
$\therefore △ AOD ≌ △ BOC (SAS)$, $\therefore ∠ A = ∠ B$.
又 $\because AD // BC$,
$\therefore ∠ A + ∠ B = 180°$,
$\therefore ∠ A = 90°$, $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 为矩形.
$\therefore AD // BC$, $AB = BC$. $\because O$ 为 $AB$ 中点,
$\therefore AO = BO$. 又 $∠ AOD = ∠ BOC$,
$\therefore ∠ ODC = ∠ OCD$, $\therefore OD = OC$,
$\therefore △ AOD ≌ △ BOC (SAS)$, $\therefore ∠ A = ∠ B$.
又 $\because AD // BC$,
$\therefore ∠ A + ∠ B = 180°$,
$\therefore ∠ A = 90°$, $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 为矩形.
13. 如图,在四边形 $ ABCD $ 中,对角线 $ AC $,$ BD $ 相交于点 $ O $,已知 $ AD // BC $,$ AO = CO $.
(1)求证:四边形 $ ABCD $ 为平行四边形;
(2) $ E $ 是 $ □ ABCD $ 外一点,且 $ ∠ AEC = ∠ BED = 90° $,求证:四边形 $ ABCD $ 为矩形.
(1)求证:四边形 $ ABCD $ 为平行四边形;
(2) $ E $ 是 $ □ ABCD $ 外一点,且 $ ∠ AEC = ∠ BED = 90° $,求证:四边形 $ ABCD $ 为矩形.
答案
13. 证明:(1) $\because AD // BC$, $\therefore ∠ DAO = ∠ BCO$.
又 $∠ AOD = ∠ COB$, $AO = CO$, $\therefore △ AOD ≌ △ COB (ASA)$, $\therefore AD = BC$, $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形.
(2)连接 $EO$. $\because ∠ AEC = 90°$, $AO = CO$,
$\therefore EO = \frac{1}{2}AC$. $\because ∠ BED = 90°$, $BO = DO$,
$\therefore EO = \frac{1}{2}BD$, $\therefore AC = BD$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形, $\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 为矩形.
又 $∠ AOD = ∠ COB$, $AO = CO$, $\therefore △ AOD ≌ △ COB (ASA)$, $\therefore AD = BC$, $\therefore$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形.
(2)连接 $EO$. $\because ∠ AEC = 90°$, $AO = CO$,
$\therefore EO = \frac{1}{2}AC$. $\because ∠ BED = 90°$, $BO = DO$,
$\therefore EO = \frac{1}{2}BD$, $\therefore AC = BD$. $\because$ 四边形 $ABCD$ 为平行四边形, $\therefore$ 平行四边形 $ABCD$ 为矩形.
14. 如图,在 $ △ ABC $ 中,点 $ O $ 是边 $ AC $ 上一个动点,过 $ O $ 作直线 $ MN // BC $,设 $ MN $ 交 $ ∠ ACB $ 的平分线于点 $ E $,交 $ ∠ ACB $ 的外角平分线于点 $ F $.
(1)求证:$ OE = OF $.
(2)当点 $ O $ 在边 $ AC $ 上运动到什么位置时,四边形 $ AECF $ 是矩形? 并说明理由.
(1)求证:$ OE = OF $.
(2)当点 $ O $ 在边 $ AC $ 上运动到什么位置时,四边形 $ AECF $ 是矩形? 并说明理由.
答案
14. (1)证明:如图,
$\because MN$ 交 $ ∠ ACB$ 的平分线于点 $E$,交 $ ∠ ACB$ 的外角平分线于点 $F$, $\therefore ∠ 2 = ∠ 5$, $∠ 4 = ∠ 6$,
$\therefore ∠ ECF = ∠ 2 + ∠ 4 = \frac{1}{2} ∠ BCD = 90°$.
$\because MN // BC$, $\therefore ∠ 1 = ∠ 5$, $∠ 3 = ∠ 6$,
$\therefore ∠ 1 = ∠ 2$, $∠ 3 = ∠ 4$,
$\therefore EO = CO$, $FO = CO$, $\therefore OE = OF$.
(2)解:当点 $O$ 在边 $AC$ 上运动到 $AC$ 的中点时,四边形 $AECF$ 是矩形. 理由:当 $O$ 为 $AC$ 的中点时, $AO = CO$,
$\because EO = FO$, $\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形,
$\because ∠ ECF = 90°$, $\therefore$ 平行四边形 $AECF$ 是矩形.
