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1. 用加减法解方程组$\begin{cases}4x + 3y = 7, &①\\6x - 5y = -1 &②\end{cases}$时，若要求消去$y$，则应( )
A.①$×3 +$②$×2$
B.①$×3 -$②$×2$
C.①$×5 +$②$×3$
D.①$×5 -$②$×3$
A.①$×3 +$②$×2$
B.①$×3 -$②$×2$
C.①$×5 +$②$×3$
D.①$×5 -$②$×3$
答案
1. C.
2. 已知$a$，$b$满足方程组$\begin{cases}3a + 2b = 4,\\2a + 3b = 6,\end{cases}$则$a + b$的值为( )
A.$2$
B.$4$
C.$-2$
D.$-4$
A.$2$
B.$4$
C.$-2$
D.$-4$
答案
2. A.
3. 若$|x + y - 1|$与$|x - y + 3|$互为相反数，则$(x + y)^{2025} =$
1
。答案
3. 1.
4. 已知$x = 2a + 3$，$y = 1 - 2a$，用含有$x$的式子表示$y$，则$y =$
$4 - x$
。答案
4. $4 - x$.
5. 若方程$x + y = 3$，$x - y = 1$和$x - 2my = 0$有公共解，则$m$的值为
1
。答案
5. 1.
6. 解方程组：
(1) $\begin{cases}x - 2y = 1,\\3x + 2y = 7;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x - y = 3,\\\dfrac{x - y - 3}{2} - \dfrac{y}{3} = -1.\end{cases}$
(1) $\begin{cases}x - 2y = 1,\\3x + 2y = 7;\end{cases}$
(2) $\begin{cases}x - y = 3,\\\dfrac{x - y - 3}{2} - \dfrac{y}{3} = -1.\end{cases}$
答案
$(1)$ 解方程组$\begin{cases}x - 2y = 1\\3x + 2y = 7\end{cases}$
解：
将两个方程相加消去$y$：
$(x - 2y)+(3x + 2y)=1 + 7$
$x - 2y+3x + 2y=8$
$4x=8$
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$x - 2y = 1$得：
$2-2y = 1$
$-2y=1 - 2$
$-2y=-1$
解得$y=\frac{1}{2}$。
所以方程组$\begin{cases}x - 2y = 1\\3x + 2y = 7\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}x - y = 3\\frac{x - y - 3}{2}-\frac{y}{3}=-1\end{cases}$
解：
由$x - y = 3$，将其代入$\frac{x - y - 3}{2}-\frac{y}{3}=-1$中，
此时$\frac{3 - 3}{2}-\frac{y}{3}=-1$，即$0-\frac{y}{3}=-1$，
$-\frac{y}{3}=-1$，
两边同时乘以$-3$得$y = 3$。
把$y = 3$代入$x - y = 3$，得$x-3 = 3$，
解得$x = 6$。
所以方程组$\begin{cases}x - y = 3\\frac{x - y - 3}{2}-\frac{y}{3}=-1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 6\\y = 3\end{cases}$。
综上，$(1)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 2\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}$；$(2)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 6\\y = 3\end{cases}}$。
解：
将两个方程相加消去$y$：
$(x - 2y)+(3x + 2y)=1 + 7$
$x - 2y+3x + 2y=8$
$4x=8$
解得$x = 2$。
把$x = 2$代入$x - 2y = 1$得：
$2-2y = 1$
$-2y=1 - 2$
$-2y=-1$
解得$y=\frac{1}{2}$。
所以方程组$\begin{cases}x - 2y = 1\\3x + 2y = 7\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 2\\y=\frac{1}{2}\end{cases}$。
$(2)$ 解方程组$\begin{cases}x - y = 3\\frac{x - y - 3}{2}-\frac{y}{3}=-1\end{cases}$
解：
由$x - y = 3$，将其代入$\frac{x - y - 3}{2}-\frac{y}{3}=-1$中，
此时$\frac{3 - 3}{2}-\frac{y}{3}=-1$，即$0-\frac{y}{3}=-1$，
$-\frac{y}{3}=-1$，
两边同时乘以$-3$得$y = 3$。
把$y = 3$代入$x - y = 3$，得$x-3 = 3$，
解得$x = 6$。
所以方程组$\begin{cases}x - y = 3\\frac{x - y - 3}{2}-\frac{y}{3}=-1\end{cases}$的解为$\begin{cases}x = 6\\y = 3\end{cases}$。
综上，$(1)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 2\\y=\frac{1}{2}\end{cases}}$；$(2)$的解为$\boldsymbol{\begin{cases}x = 6\\y = 3\end{cases}}$。
7. 小明和小文解一个二元一次方程组$\begin{cases}cx - 3y = -2,\\ax + by = 2,\end{cases}$小明正确解得$\begin{cases}x = 1,\\y = -1;\end{cases}$小文因抄错了$c$，解得$\begin{cases}x = 2,\\y = -6.\end{cases}$已知小文除抄错了$c$外没有发生其他错误，求$a + b + c$的值。
答案
7. 解：把 $\begin{cases}x = 1,\\y = - 1\end{cases}$ 代入 $cx - 3y = - 2$，得 $c + 3 = - 2$，解得 $c = - 5$。把 $\begin{cases}x = 1,\\y = - 1\end{cases}$ 与 $\begin{cases}x = 2,\\y = - 6\end{cases}$ 分别代入 $ax + by = 2$，得 $\begin{cases}a - b = 2,\\2a - 6b = 2,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}a = 2\dfrac{1}{2},\\b = \dfrac{1}{2}.\end{cases}$ 则 $a + b + c = 2\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} - 5 = - 2$。
8. 若方程组$\begin{cases}4x - y = 5,\\ax + by = -1\end{cases}$与方程组$\begin{cases}3x + y = 9,\\3ax + 4by = 18\end{cases}$有相同的解，求$a$，$b$的值。
答案
解：
因为两个方程组有相同的解，所以先联立$\begin{cases}4x - y = 5 \\3x + y = 9 \end{cases}$
将两式相加消去$y$：
$(4x - y)+(3x + y)=5 + 9$
$4x - y+3x + y=14$
$7x=14$
解得$x = 2$
把$x = 2$代入$4x - y = 5$得：
$4×2-y=5$
$8 - y=5$
$y=8 - 5=3$
把$x = 2$，$y = 3$代入$\begin{cases}ax + by = -1 \\3ax + 4by = 18 \end{cases}$，得到$\begin{cases}2a + 3b = -1&(1)\\6a + 12b = 18&(2) \end{cases}$
由$(1)$式得$2a=-1 - 3b$，即$a=\dfrac{-1 - 3b}{2}$
将$a=\dfrac{-1 - 3b}{2}$代入$(2)$式：
$6×\dfrac{-1 - 3b}{2}+12b = 18$
$3(-1 - 3b)+12b = 18$
$-3-9b + 12b = 18$
$3b=18 + 3$
$3b=21$
解得$b = 7$
把$b = 7$代入$a=\dfrac{-1 - 3b}{2}$得：
$a=\dfrac{-1-3×7}{2}=\dfrac{-1 - 21}{2}=\dfrac{-22}{2}=-11$
所以$a=-11$，$b = 7$。
因为两个方程组有相同的解，所以先联立$\begin{cases}4x - y = 5 \\3x + y = 9 \end{cases}$
将两式相加消去$y$：
$(4x - y)+(3x + y)=5 + 9$
$4x - y+3x + y=14$
$7x=14$
解得$x = 2$
把$x = 2$代入$4x - y = 5$得：
$4×2-y=5$
$8 - y=5$
$y=8 - 5=3$
把$x = 2$，$y = 3$代入$\begin{cases}ax + by = -1 \\3ax + 4by = 18 \end{cases}$，得到$\begin{cases}2a + 3b = -1&(1)\\6a + 12b = 18&(2) \end{cases}$
由$(1)$式得$2a=-1 - 3b$，即$a=\dfrac{-1 - 3b}{2}$
将$a=\dfrac{-1 - 3b}{2}$代入$(2)$式：
$6×\dfrac{-1 - 3b}{2}+12b = 18$
$3(-1 - 3b)+12b = 18$
$-3-9b + 12b = 18$
$3b=18 + 3$
$3b=21$
解得$b = 7$
把$b = 7$代入$a=\dfrac{-1 - 3b}{2}$得：
$a=\dfrac{-1-3×7}{2}=\dfrac{-1 - 21}{2}=\dfrac{-22}{2}=-11$
所以$a=-11$，$b = 7$。
