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5. 关系式$xy + 4 = 0$中,$y与x$是成反比例关系的量吗？若不是,请说明理由。
答案
解:y与x是成反比例关系的量,由xy+4=0,得xy=-4.
解析
【分析】
要判断两个量是否成反比例关系，首先要明确反比例关系的判定标准：若两种相关联的量x、y的乘积是固定不变的非零常数，则x和y成反比例关系。解题时先对给出的关系式进行变形，整理为x与y相乘的形式，判断乘积是否为定值即可。
【解析】
解：根据反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若二者对应的乘积一定，则这两种量是成反比例关系的量。
对关系式$xy+4=0$进行移项变形，将常数项移到等号右侧，可得：
$xy=-4$
可见x和y的乘积为定值-4，符合反比例关系的判定条件，因此y与x是成反比例关系的量。
【答案】
y与x是成反比例关系的量,由$xy+4=0$,得$xy=-4$.
【知识点】
1.反比例关系的判定
2.等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是抓住反比例关系“两个变量乘积为非零定值”的本质特征，仅需简单的等式变形就能完成判断，旨在加深学生对反比例关系定义的理解。
【难度系数】
0.9
要判断两个量是否成反比例关系，首先要明确反比例关系的判定标准：若两种相关联的量x、y的乘积是固定不变的非零常数，则x和y成反比例关系。解题时先对给出的关系式进行变形，整理为x与y相乘的形式，判断乘积是否为定值即可。
【解析】
解：根据反比例关系的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，若二者对应的乘积一定，则这两种量是成反比例关系的量。
对关系式$xy+4=0$进行移项变形，将常数项移到等号右侧，可得：
$xy=-4$
可见x和y的乘积为定值-4，符合反比例关系的判定条件，因此y与x是成反比例关系的量。
【答案】
y与x是成反比例关系的量,由$xy+4=0$,得$xy=-4$.
【知识点】
1.反比例关系的判定
2.等式的基本性质
【点评】
本题属于基础概念考查题，解题核心是抓住反比例关系“两个变量乘积为非零定值”的本质特征，仅需简单的等式变形就能完成判断，旨在加深学生对反比例关系定义的理解。
【难度系数】
0.9
6.(跨学科—物理)物理学的知识告诉我们,气温不变时,某气球内的气压$p(kPa)与气球体积V(m^{3})$是成反比例关系的量,当气球内的气压大于$100kPa$时,气球会发生爆炸。根据下表判断,为了安全起见,气球内气体的体积$V$应该( )
| $p/kPa$ | …$$ | $20$ | $40$ | $60$ | $100$ | $120$ | …$$ |
| $V/m^{3}$ | …$$ | $4.8$ | $2.4$ | $1.6$ | $0.96$ | $0.8$ | …$$ |
A.小于$0.96m^{3}$
B.不小于$0.96m^{3}$
C.大于$0.96m^{3}$
D.不大于$0.96m^{3}$
| $p/kPa$ | …$$ | $20$ | $40$ | $60$ | $100$ | $120$ | …$$ |
| $V/m^{3}$ | …$$ | $4.8$ | $2.4$ | $1.6$ | $0.96$ | $0.8$ | …$$ |
A.小于$0.96m^{3}$
B.不小于$0.96m^{3}$
C.大于$0.96m^{3}$
D.不大于$0.96m^{3}$
答案
B
解析
【分析】
解题时首先根据题目给出的“p与V成反比例关系”的条件，回忆反比例关系的特点：两个相关联的量，乘积为定值。首先利用表格中给出的一组p、V对应值算出乘积定值，得到p和V的关系式；再结合“气压大于100kPa会爆炸”的安全要求，列出p≤100的不等式，将p替换为含V的表达式，解不等式即可得到V的取值范围，注意体积V是正数，解不等式时不等号方向不变。
【解析】
解：
∵气温不变时，气压p与体积V成反比例关系，
∴设pV=k（k为常数，k≠0）。
将表格中p=20，V=4.8代入得：k=20×4.8=96，
∴p与V的关系式为pV=96，即$p=\frac{96}{V}$。
根据安全要求，气球不爆炸需满足p≤100kPa，代入得：
$\frac{96}{V}≤100$，
∵体积V是正数，两边同时乘V不等号方向不变，得：
96≤100V，
解得V≥0.96，即气体体积V不小于$0.96m^3$。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系，不等式的实际应用
【点评】
本题结合物理学科的气压与体积的变化规律，考查反比例关系的实际应用，解题核心是先确定反比例的定值，再结合限定条件列不等式求解，需要注意实际问题中变量的正负性对不等式的影响。
【难度系数】
0.7
解题时首先根据题目给出的“p与V成反比例关系”的条件，回忆反比例关系的特点：两个相关联的量，乘积为定值。首先利用表格中给出的一组p、V对应值算出乘积定值，得到p和V的关系式；再结合“气压大于100kPa会爆炸”的安全要求，列出p≤100的不等式，将p替换为含V的表达式，解不等式即可得到V的取值范围，注意体积V是正数，解不等式时不等号方向不变。
【解析】
解：
∵气温不变时，气压p与体积V成反比例关系，
∴设pV=k（k为常数，k≠0）。
将表格中p=20，V=4.8代入得：k=20×4.8=96，
∴p与V的关系式为pV=96，即$p=\frac{96}{V}$。
根据安全要求，气球不爆炸需满足p≤100kPa，代入得：
$\frac{96}{V}≤100$，
∵体积V是正数，两边同时乘V不等号方向不变，得：
96≤100V，
解得V≥0.96，即气体体积V不小于$0.96m^3$。
【答案】
B
【知识点】
反比例关系，不等式的实际应用
【点评】
本题结合物理学科的气压与体积的变化规律，考查反比例关系的实际应用，解题核心是先确定反比例的定值，再结合限定条件列不等式求解，需要注意实际问题中变量的正负性对不等式的影响。
【难度系数】
0.7
7. 调查显示,某商场一款小型电器一天的销售量与其售价成反比例关系,调查获得的部分数据如下表。
| 售价$x/$(元/台) | $200$ | $250$ | $400$ |
| 销售量$y/$台 | $40$ | $32$ | $20$ |
商场销售该小型电器每天的销售额为______元。
| 售价$x/$(元/台) | $200$ | $250$ | $400$ |
| 销售量$y/$台 | $40$ | $32$ | $20$ |
商场销售该小型电器每天的销售额为______元。
答案
8 000
解析
【分析】
首先明确反比例关系的特征：成反比例的两个量的乘积是固定不变的常数。而题目所求的每天销售额=售价×销售量，也就是x与y的乘积，刚好是反比例关系中的固定常数。我们只需要选取表格中任意一组x和y的数值计算乘积，再用其余组数据验证乘积相等，就能得到销售额的值。
【解析】
已知销售量y与售价x成反比例关系，根据反比例的定义，可得x和y的乘积为固定常数，即$xy=k$（k为定值）。
选取表格第一组数据：当x=200元/台，y=40台时，$k=200×40=8000$。
验证：选取第二组数据，$250×32=8000$；选取第三组数据，$400×20=8000$，乘积均相等，说明k=8000是固定值。
因为每天销售额=售价×销售量=$xy=k$，所以每天的销售额为8000元。
【答案】
8000
【知识点】
反比例关系的概念；销售额的计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理解反比例关系中两个量乘积为定值的特点，结合销售额的计算公式即可快速求解，解题时可通过多组数据验证结果的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
首先明确反比例关系的特征：成反比例的两个量的乘积是固定不变的常数。而题目所求的每天销售额=售价×销售量，也就是x与y的乘积，刚好是反比例关系中的固定常数。我们只需要选取表格中任意一组x和y的数值计算乘积，再用其余组数据验证乘积相等，就能得到销售额的值。
【解析】
已知销售量y与售价x成反比例关系，根据反比例的定义，可得x和y的乘积为固定常数，即$xy=k$（k为定值）。
选取表格第一组数据：当x=200元/台，y=40台时，$k=200×40=8000$。
验证：选取第二组数据，$250×32=8000$；选取第三组数据，$400×20=8000$，乘积均相等，说明k=8000是固定值。
因为每天销售额=售价×销售量=$xy=k$，所以每天的销售额为8000元。
【答案】
8000
【知识点】
反比例关系的概念；销售额的计算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是理解反比例关系中两个量乘积为定值的特点，结合销售额的计算公式即可快速求解，解题时可通过多组数据验证结果的准确性，避免计算失误。
【难度系数】
0.8
8.(2025·黄山)某机床要加工一批毛绒玩具,每小时加工的件数与加工的时间如下表：
| 每小时加工件数 | $40$ | $32$ | $24$ | $12$ | …$$ |
| 加工时间$/h$ | $12$ | $15$ | $20$ | $40$ | …$$ |
(1)这批毛绒玩具共多少件？
(2)加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？
(3)已知$x$表示每小时加工毛绒玩具的件数,$y$表示加工时间,用式子表示$x与y$之间的关系。$x与y$成什么比例关系？
| 每小时加工件数 | $40$ | $32$ | $24$ | $12$ | …$$ |
| 加工时间$/h$ | $12$ | $15$ | $20$ | $40$ | …$$ |
(1)这批毛绒玩具共多少件？
(2)加工时间是怎样随着每小时加工件数的变化而变化的？
(3)已知$x$表示每小时加工毛绒玩具的件数,$y$表示加工时间,用式子表示$x与y$之间的关系。$x与y$成什么比例关系？
答案
解:
(1)因为40×12=480,32×15=480,24×20=480,12×40=480,
所以这批毛绒玩具共有480件.
(2)结合表格,得出加工时间随着每小时加工件数的增加而减少(或减少而增加).
(3)因为工作总量不变,都是480件,
所以加工时间与每小时加工件数乘积都是480,即乘积不变,所以xy=480.
故x与y成反比例关系.
(1)因为40×12=480,32×15=480,24×20=480,12×40=480,
所以这批毛绒玩具共有480件.
(2)结合表格,得出加工时间随着每小时加工件数的增加而减少(或减少而增加).
(3)因为工作总量不变,都是480件,
所以加工时间与每小时加工件数乘积都是480,即乘积不变,所以xy=480.
故x与y成反比例关系.
解析
【分析】
（1）求毛绒玩具总件数可依据“工作总量=工作效率×工作时间”计算，表格中每组每小时加工件数和对应加工时间的乘积就是总件数，验证几组数据乘积相等，就能得到总件数。
（2）观察表格中两个量的变化趋势，对比每小时加工件数增大/减小时加工时间的变化，即可总结变化规律。
（3）已知工作总量是固定值，结合工作总量、工作效率x、工作时间y的关系就能写出二者的关系式；再根据反比例的定义“两个相关联的量，乘积一定时成反比例”，即可判断比例关系。
【解析】
(1) 分别计算每组每小时加工件数与加工时间的乘积：
$40×12=480$，$32×15=480$，$24×20=480$，$12×40=480$，
所有组的乘积均相等，说明总件数固定，因此这批毛绒玩具共480件。
(2) 观察表格数据：每小时加工件数从40逐渐减小到12时，加工时间从12h逐渐增加到40h，因此加工时间随着每小时加工件数的增加而减少，随着每小时加工件数的减少而增加。
(3) 由于工作总量固定为480件，根据“工作总量=工作效率×工作时间”，可得$x× y=480$，即$xy=480$；
x和y是两个相关联的量，x变化时y也随之变化，且二者的乘积始终为定值480，因此x与y成反比例关系。
【答案】
(1) 这批毛绒玩具共480件。
(2) 加工时间随着每小时加工件数的增加而减少，随着每小时加工件数的减少而增加。
(3) $x$与$y$的关系为$xy=480$，$x$与$y$成反比例关系。
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 工程问题基本公式
【点评】
本题结合工程问题的实际场景，考查反比例关系的识别与应用，解题关键是明确工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，掌握反比例的判定特征：两个相关联的量乘积一定。
【难度系数】
0.8
（1）求毛绒玩具总件数可依据“工作总量=工作效率×工作时间”计算，表格中每组每小时加工件数和对应加工时间的乘积就是总件数，验证几组数据乘积相等，就能得到总件数。
（2）观察表格中两个量的变化趋势，对比每小时加工件数增大/减小时加工时间的变化，即可总结变化规律。
（3）已知工作总量是固定值，结合工作总量、工作效率x、工作时间y的关系就能写出二者的关系式；再根据反比例的定义“两个相关联的量，乘积一定时成反比例”，即可判断比例关系。
【解析】
(1) 分别计算每组每小时加工件数与加工时间的乘积：
$40×12=480$，$32×15=480$，$24×20=480$，$12×40=480$，
所有组的乘积均相等，说明总件数固定，因此这批毛绒玩具共480件。
(2) 观察表格数据：每小时加工件数从40逐渐减小到12时，加工时间从12h逐渐增加到40h，因此加工时间随着每小时加工件数的增加而减少，随着每小时加工件数的减少而增加。
(3) 由于工作总量固定为480件，根据“工作总量=工作效率×工作时间”，可得$x× y=480$，即$xy=480$；
x和y是两个相关联的量，x变化时y也随之变化，且二者的乘积始终为定值480，因此x与y成反比例关系。
【答案】
(1) 这批毛绒玩具共480件。
(2) 加工时间随着每小时加工件数的增加而减少，随着每小时加工件数的减少而增加。
(3) $x$与$y$的关系为$xy=480$，$x$与$y$成反比例关系。
【知识点】
1. 反比例关系的判定
2. 工程问题基本公式
【点评】
本题结合工程问题的实际场景，考查反比例关系的识别与应用，解题关键是明确工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，掌握反比例的判定特征：两个相关联的量乘积一定。
【难度系数】
0.8
