三、解答题
10. 如图，在菱形$ABCD$中，点$E$，$F$分别为$AD$，$CD$边上的点，$DE=DF$. 求证：$∠ 1=∠ 2$.

10. 证明:
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴AD=CD.
∵DE=DF,∠D=∠D,
∴△ADF≌△CDE(SAS),
∴∠1=∠2.

11. 如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$，$F$分别是$AB$，$BC$，$AC$的中点，连接$DF$，$EF$，$BF$.
（1）求证：四边形$BEFD$是平行四边形；
（2）若$∠ AFB=90°$，$AB=6$，求四边形$BEFD$的周长.

11. (1)证明:
∵D,E,F 分别是 AB,BC,AC 的中点,
∴DF//BC,EF//AB,即 DF//BE,EF//BD,
∴四边形 BEFD 是平行四边形.
(2)解:
∵∠AFB=90°,D 是 AB 的中点,AB=6,
∴DF=DB=DA=$\frac{1}{2}$AB=3.
∵四边形 BEFD 是平行四边形,
∴四边形 BEFD 是菱形.
∵DB=3,
∴四边形 BEFD 的周长为 12.

12. 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，点$D$，$E$分别是边$BC$，$AB$的中点，连接$DE$并延长至点$F$，使$EF=2DE$，连接$CE$，$AF$.
（1）求证：$AF=CE$.
（2）当$∠ B=30°$时，试判断四边形$ACEF$的形状并说明理由.

12. (1)证明:
∵点 D,E 分别是边 BC,AB 的中点,
∴DE//AC,AC=2DE,
∴EF//AC.
∵EF=2DE,
∴EF=AC,
∴四边形 ACEF 是平行四边形,
∴AF=CE.
(2)解:当∠B=30°时,四边形 ACEF 是菱形.理由如下:
∵∠ACB=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°.
∵E 是 AB 的中点,
∴CE=$\frac{1}{2}$AB=AE.
∴△AEC 是等边三角形,
∴AC=CE.
又
∵四边形 ACEF 是平行四边形,
∴平行四边形 ACEF 是菱形.

13. 如图，四边形$ABCD$是正方形，$△ EFC$是等腰直角三角形，点$E$在$AB$上，且$∠ CEF=90°$，$FG⊥ AD$，垂足为$G$.
（1）试判断$AG$与$FG$是否相等，并给出证明.
（2）若点$H$为$CF$的中点，$GH$与$DH$垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由.

13. 解:(1)AG=FG.证明:过点 F 作 FM⊥AB 交 BA 的延长线于点 M.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AB=BC,∠B=∠BAD=90°.
∵FM⊥AB,∠MAD=90°,FG⊥AD,
∴四边形 AGFM 是矩形,
∴AG=MF,AM=FG.
∵∠CEF=90°,
∴∠FEM+∠BEC=90°,∠BEC+∠ECB=90°,
∴∠FEM=∠ECB,
又∠M=∠B=90°,EF=EC,
∴△EFM≌△CEB(AAS),
∴BE=MF,ME=BC,
∴ME=AB,
∴BE=MA=MF,
∴AG=FG.
(2)DH⊥GH.证明:延长 GH 交 CD 于点 Q.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴AD⊥CD.
又 FG⊥AD,
∴FG//CD,
∴∠GFH=∠DCH.
∵∠GHF=∠CHQ,FH=CH,
∴△FGH≌△CQH,
∴GH=HQ,FG=CQ.
又 AG=FG,
∴AG=CQ,
∵AD=CD,
∴DG=DQ,
∴DH⊥GH.