重难点1 形积问题
【典例1】如图，在大长方形中放置10个形状、大小都相同的小长方形，则大长方形的面积是（B）

A. 6 400
B. 6 750
C. 6 700
D. 6 800
解析：设小长方形的长为$x$，宽为$y$，由图形知，$\begin{cases}x + 2y = 75,\\2x = x + 3y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 45,\\y = 15,\end{cases}$则大长方形的长为$2x = 90$，所以大长方形的面积为$90×75 = 6750$，故选B.

B

设小长方形的长为$x$，宽为$y$，根据题意得：
$\begin{cases}x + 2y = 75, \\2x = x + 3y. \end{cases}$
从第二个方程可得：
$x = 3y$，
将$x = 3y$代入第一个方程：
$3y + 2y = 75$，
$5y = 75$，
$y = 15$，
将$y = 15$代入$x = 3y$得：
$x = 45$，
所以大长方形的长为$2x = 90$，宽为$75$，
大长方形的面积为：
$90 × 75 = 6750$。

【对点训练】
1. 如图所示，周长为34的长方形$ABCD$被分成7个大小完全一样的小长方形，则每个小长方形的面积为()

A. 30
B. 20
C. 10
D. 14

C

设小长方形的长为$x$，宽为$y$。由图形可知，大长方形的长为$5y$（或$2x$），宽为$x + y$，且$5y = 2x$。大长方形周长为34，可得$2(5y + x + y) = 34$，即$x + 6y = 17$。联立方程组$\begin{cases}5y = 2x \\ x + 6y = 17\end{cases}$，解得$x = 5$，$y = 2$。每个小长方形面积为$5×2 = 10$。

重难点2 配套问题
【典例2】某学校课后兴趣小组在开展手工制作活动中，美术老师要求用14张卡纸制作圆柱体包装盒，准备把这些卡纸分成两部分，一部分做侧面，另一部分做底面. 已知每张卡纸可以裁出2个侧面，或者裁出3个底面，如果1个侧面和2个底面可以做成一个包装盒，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为（C）
A. 6
B. 8
C. 12
D. 16
解析：设用$x$张卡纸做侧面，用$y$张卡纸做底面，由题意，得$\begin{cases}x + y = 14,\\2×2x = 3y,\end{cases}$解得$\begin{cases}x = 6,\\y = 8,\end{cases}$所以用6张卡纸做侧面，用8张卡纸做底面，则做出侧面的数量为12个，底面的数量为24个，这些卡纸最多可以做成包装盒的个数为12. 故选C.

C

设用$x$张卡纸做侧面，用$y$张卡纸做底面。
根据总卡纸数，得方程$x + y = 14$。
根据侧面和底面的配套关系（1个侧面和2个底面组成一个包装盒，每张卡纸可以裁出2个侧面或者裁出3个底面），
得方程$2×2x = 3y×( 2÷2)$（即$2×2x = 3y$中底面数量按照配套要求隐含除以$2$的对应关系，实际按等量关系列出$2×2x = 3y$），
即$\begin{cases}x + y = 14,\\2×2x = 3y.\end{cases}$
将$x = 14 - y$代入$4x = 3y$，
得$4(14 - y) = 3y$，
$56 - 4y = 3y$，
$7y = 56$，
解得$y = 8$，
把$y = 8$代入$x = 14 - y$，
得$x = 14 - 8 = 6$，
所以$\begin{cases}x = 6,\\y = 8.\end{cases}$
用$6$张卡纸做侧面，可做出$2×6 = 12$个侧面；
用$8$张卡纸做底面，可做出$3×8 = 24$个底面。
因为$1$个侧面和$2$个底面可以做成一个包装盒，$24÷2 = 12$，
所以这些卡纸最多可以做成$12$个包装盒。