1. 计算$\frac{6}{a}+\frac{2}{a}$，结果为()

A.$\frac{4}{a}$
B.$\frac{12}{a^{2}}$
C.$\frac{8}{a}$
D.$\frac{12}{a}$

1. C

【分析】
这是一道同分母分式加法计算题，解题思路是运用同分母分式的加法法则：同分母的分式相加，分母不变，把分子相加。首先观察两个分式的分母都是a，属于同分母分式，所以只需将分子6和2相加，分母保持a不变，计算出分子的和后就能得到结果，再对应选项选出正确答案。
【解析】
根据同分母分式加法法则计算：
$\frac{6}{a}+\frac{2}{a}=\frac{6+2}{a}=\frac{8}{a}$
因此结果对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
同分母分式加法
【点评】
本题考查同分母分式的基本加法运算，法则简单易懂，只要牢记“分母不变，分子相加”的规则，就能避免错误（如误将分母相乘、分子相减等），轻松得出正确结果。
【难度系数】
0.9

2. 计算$\frac{1}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}$，结果是()

A.$-1$
B.$2$
C.$\frac{x}{x - 1}$
D.$\frac{1 + x}{x - 1}$

2. A

【分析】
这是一道同分母分式减法运算题，解题思路是依据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。首先观察到两个分式的分母都是$x-1$，满足同分母分式相减的条件，所以先将分子相减，再对所得的分子进行变形，最后约分得到最简结果。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{1}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}&=\frac{1 - x}{x - 1}\\&=\frac{-(x - 1)}{x - 1}\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
A
【知识点】
同分母分式加减法
【点评】
本题主要考查同分母分式的减法运算，属于基础题型。解题时需注意分子相减时的符号处理，以及最后对分式进行约分得到最简形式，只要掌握同分母分式加减法的基本法则，就能轻松解答。
【难度系数】
0.9

3. 若$a = 1$，则$\frac{a^{2}}{a + 3}-\frac{9}{a + 3}$的值为()

A.$2$
B.$-2$
C.$\frac{1}{2}$
D.$-\frac{1}{2}$

3. B

【分析】
首先，观察到两个分式的分母相同，根据同分母分式减法法则，可先将分子相减，分母保持不变。接着对分子进行因式分解，利用平方差公式将$a^2 - 9$分解为$(a - 3)(a + 3)$，然后约分简化式子，最后把$a = 1$代入化简后的式子计算出结果，即可匹配选项得到答案。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{a^{2}}{a + 3}-\frac{9}{a + 3}\\=&\frac{a^2 - 9}{a + 3}\\=&\frac{(a - 3)(a + 3)}{a + 3}\\=&a - 3\end{aligned}$
当$a = 1$时，代入得：$1 - 3 = -2$。
【答案】
B
【知识点】
同分母分式运算、分式化简求值、平方差公式
【点评】
本题考查分式的基本运算与化简求值，难度较低。解题关键是熟练掌握同分母分式的减法法则，以及利用平方差公式进行因式分解约分，代入数值计算时需注意符号问题。
【难度系数】
0.8

4. 若$\frac{1}{1 - x}+M=\frac{1}{x - 1}$，则$M =$()

A.$0$
B.$\frac{2}{1 - x}$

C.$\frac{-2x}{(1 - x)(x - 1)}$
D.$\frac{2}{x - 1}$

4. D

【分析】
要解决求M的值的问题，我们可以先通过移项将M单独放在等式一侧，即M等于等式右边的分式减去左边的分式。接下来需要处理分式的减法运算，注意到1-x和x-1互为相反数，我们可以将它们转化为相同的分母，再进行分子的运算，最后化简得到结果。
【解析】
已知$\frac{1}{1 - x}+M=\frac{1}{x - 1}$，移项可得：
$M = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{1 - x}$
因为$1 - x = -(x - 1)$，所以$\frac{1}{1 - x} = -\frac{1}{x - 1}$，代入上式：
$M = \frac{1}{x - 1} - (-\frac{1}{x - 1})$
去括号得：
$M = \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}$
同分母分式相加，分母不变，分子相加：
$M = \frac{1 + 1}{x - 1} = \frac{2}{x - 1}$
【答案】
D
【知识点】
分式加减运算、分母符号转化
【点评】
本题主要考查分式的基本运算，核心是掌握分母互为相反数时的符号转化方法，通过移项分离出M后，进行分式加减运算即可求解。解题过程中需注意符号的处理，避免因符号错误导致结果出错。
【难度系数】
0.8

5. 若$y = -x + 3$，且$x≠ y$，则$\frac{x^{2}}{x - y}+\frac{y^{2}}{y - x}$的值为()

A.$3$
B.$-3$
C.$\frac{1}{3}$
D.$-\frac{1}{3}$

5. A

【分析】
首先观察所求分式的分母，发现$y-x=-(x-y)$，可先将两个分式化为同分母分式；然后合并分子，利用平方差公式对分子因式分解，再结合$x≠y$的条件约分得到最简形式；最后根据已知$y=-x+3$得出$x+y=3$，代入最简式即可求出结果，$x≠y$保证了分母不为0，分式有意义。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}}{x - y}+\frac{y^{2}}{y - x}\\=&\frac{x^{2}}{x - y}-\frac{y^{2}}{x - y}\\=&\frac{x^{2}-y^{2}}{x - y}\\=&\frac{(x+y)(x-y)}{x - y}\\=&x+y\end{aligned}$
因为$y=-x+3$，移项可得$x+y=3$，所以原式的值为3。
【答案】
A
【知识点】
分式化简求值，平方差公式
【点评】
本题考查分式的化简求值，核心是通过转化分母实现分式合并，利用平方差公式约分简化式子，再运用整体代入思想计算，解题时需注意分母不为零的前提条件，整体代入能有效简化计算过程。
【难度系数】
0.8

6. 计算：$\frac{4a}{a - 1}-\frac{3a + 1}{a - 1}=$。

6. 1

【分析】
这是一道同分母分式的减法计算题，解题思路是依据同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。首先直接将两个分式的分子相减，注意去括号时的符号变化，然后化简分子，最后对分子分母进行约分即可得到结果。
【解析】
$\begin{aligned}\frac{4a}{a - 1}-\frac{3a + 1}{a - 1}&=\frac{4a-(3a+1)}{a-1}\\&=\frac{4a-3a-1}{a-1}\\&=\frac{a-1}{a-1}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分
【点评】
本题考查基础的分式运算，重点在于掌握同分母分式的加减法则，计算过程中需注意去括号时的符号变化，同时要明确分式有意义的条件是分母不为0，即$a≠1$，原式隐含了该前提，约分后无需额外标注。
【难度系数】
0.9

7. 与分式$\frac{m^{2}}{(m - n)^{2}}$的和等于$\frac{m^{2} + 1}{(m - n)^{2}}$的分式是。

7. $\frac{1}{(m - n)^2}$

【分析】
这道题是已知两个分式的和与其中一个分式，求另一个分式，可类比加法中“求一个加数=和-另一个加数”的思路来解题。首先明确所求分式等于两分式的和减去已知的分式，因为两个分式分母相同，直接按照同分母分式减法法则计算即可，即分母不变，分子相减，最后化简分子得到结果。
【解析】
设所求分式为$A$，根据题意可得：
$A + \frac{m^{2}}{(m - n)^{2}} = \frac{m^{2} + 1}{(m - n)^{2}}$
则：
$\begin{aligned}A&=\frac{m^{2} + 1}{(m - n)^{2}} - \frac{m^{2}}{(m - n)^{2}}\\&=\frac{(m^{2} + 1) - m^{2}}{(m - n)^{2}}\\&=\frac{1}{(m - n)^{2}}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{(m - n)^2}$
【知识点】
同分母分式加减法
【点评】
本题考查同分母分式的减法运算，解题关键是熟练掌握同分母分式减法法则：分母不变，分子相加减，运算后注意化简分子。题目较为基础，注重对分式运算基本法则的考察。
【难度系数】
0.9

8. 若$\frac{x}{y}=2$，则$\frac{x^{2}-1}{xy}-\frac{y^{2}-1}{xy}=$。

8. $\frac{3}{2}$

【分析】
首先观察所求式子，两个分式分母相同，可先合并为一个分式简化计算。先将分子相减，化简后得到分子为$x^2 - y^2$，再将分式拆分为$\frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy}$，进一步化简为$\frac{x}{y} - \frac{y}{x}$。已知$\frac{x}{y}=2$，则其倒数$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$，代入即可求出结果；也可直接将$x=2y$代入原式计算，优先选择化简后利用已知比值的方法更简便。
【解析】
$\begin{aligned}&\frac{x^{2}-1}{xy}-\frac{y^{2}-1}{xy}\\=&\frac{(x^2 - 1) - (y^2 - 1)}{xy}\\=&\frac{x^2 - 1 - y^2 + 1}{xy}\\=&\frac{x^2 - y^2}{xy}\\=&\frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy}\\=&\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\end{aligned}$
因为$\frac{x}{y}=2$，所以$\frac{y}{x}=\frac{1}{2}$，代入上式得：
$2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
【答案】
$\frac{3}{2}$
【知识点】
分式化简求值、分式加减运算
【点评】
本题考查分式的化简与求值，解题关键是通过合并分式、拆分转化为与已知条件相关的式子，利用整体代入思想简化计算，避免复杂的代入运算，提升解题效率。同时也可通过代入$x=2y$直接计算，两种方法都能锻炼分式运算能力。
【难度系数】
0.7

9. 计算。
（1）$\frac{x + 2}{x + 1}-\frac{x - 1}{x + 1}$。
（2）$\frac{x^{2}}{x - 1}+\frac{x}{1 - x}$。
（3）$\frac{a + 2}{(a - 2)^{2}}-\frac{4}{(2 - a)^{2}}$。
（4）$\frac{m^{2}}{m^{2} + mn}-\frac{n^{2}}{m^{2} + mn}$。

9. 解：(1)原式$=\frac{(x + 2)-(x - 1)}{x + 1}=\frac{3}{x + 1}$。
(2)原式$=\frac{x^2}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}=\frac{x(x - 1)}{x - 1}=x$。
(3)原式$=\frac{a + 2}{(a - 2)^2}-\frac{4}{(a - 2)^2}=\frac{a - 2}{(a - 2)^2}=\frac{1}{a - 2}$。
(4)原式$=\frac{m^2}{m^2 + mn}-\frac{n^2}{m^2 + mn}=\frac{m^2 - n^2}{m(m + n)}$
$=\frac{(m + n)(m - n)}{m(m + n)}=\frac{m - n}{m}$。

【分析】
这四道题均为分式加减运算，核心思路是运用同分母分式加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减。针对不同情况灵活处理：
1. 对于直接同分母的分式（如(1)(4)），直接将分子相加减，再化简分子、约分；
2. 分母互为相反数的（如(2)），先通过变号将分母统一，再按同分母分式法则计算；
3. 分母形式不同但实质相等的（如(3)中$(2-a)^2=(a-2)^2$），直接转化为同分母分式后计算，最后约分得到最简结果。
【解析】
(1)原式$=\frac{(x + 2)-(x - 1)}{x + 1}=\frac{x+2-x+1}{x+1}=\frac{3}{x + 1}$
(2)原式$=\frac{x^2}{x - 1}-\frac{x}{x - 1}=\frac{x^2 - x}{x - 1}=\frac{x(x - 1)}{x - 1}=x$
(3)原式$=\frac{a + 2}{(a - 2)^2}-\frac{4}{(a - 2)^2}=\frac{a+2-4}{(a-2)^2}=\frac{a - 2}{(a - 2)^2}=\frac{1}{a - 2}$
(4)原式$=\frac{m^2 - n^2}{m^2 + mn}=\frac{(m + n)(m - n)}{m(m + n)}=\frac{m - n}{m}$
【答案】
(1)$\boldsymbol{\frac{3}{x + 1}}$；(2)$\boldsymbol{x}$；(3)$\boldsymbol{\frac{1}{a - 2}}$；(4)$\boldsymbol{\frac{m - n}{m}}$
【知识点】
同分母分式加减法，分式约分，因式分解（平方差公式）
【点评】
本题是分式加减的基础题型，重点考查同分母分式加减法则的应用，以及分母变形、因式分解约分等技能。解题时需注意符号变化，计算后务必将结果化为最简分式或整式，能帮助学生夯实分式运算的基础。
【难度系数】
0.8