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一、选择题
1. 在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，那么cosB=()
A. $\frac{\sqrt{2}}{5}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
1. 在△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，那么cosB=()
A. $\frac{\sqrt{2}}{5}$
B. $\frac{\sqrt{3}}{5}$
C. $\frac{2}{5}$
D. $\frac{\sqrt{5}}{5}$
答案
解：
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，
根据余弦的定义：$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
故选D。
在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，
由勾股定理得：
$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，
根据余弦的定义：$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$。
故选D。
2. 如图1，在△ABC中，AB=AC=5，sinB=$\frac{4}{5}$，则BC的长是()
A.3
B.6
C.8
D.9
A.3
B.6
C.8
D.9
答案
B
解析
过点A作AD⊥BC于点D，∵AB=AC，∴BD=DC（等腰三角形三线合一）。在Rt△ABD中，AB=5，sinB=$\frac{AD}{AB}$=$\frac{4}{5}$，则AD=AB×$\frac{4}{5}$=5×$\frac{4}{5}$=4。由勾股定理得：BD=$\sqrt{AB^2-AD^2}$=$\sqrt{5^2-4^2}$=3，故BC=2BD=6。
3. 如图2，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，CD⊥OA，垂足为D，则cos∠AOB的值等于()
A.OD
B.OA
C.CD
D.AB
A.OD
B.OA
C.CD
D.AB
答案
A
解析
已知⊙O的半径为1，所以OC=OA=1。因为CD⊥OA，所以△OCD是直角三角形，∠ODC=90°。根据余弦的定义，在Rt△OCD中，$\cos∠ AOB=\frac{OD}{OC}$，又OC=1，故$\cos∠ AOB=OD$。
4. 如图3，点A，B，O是正方形网格上的三个格点，⊙O的半径为OA，点P是优弧$\overset{\frown}{AmB}$上的一点，则tan∠APB的值是()
A.1
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
A.1
B.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
D.$\sqrt{3}$
答案
A
解析
设正方形网格中小正方形的边长为1，可得OA=OB=1，∠AOB=90°。根据圆周角定理，同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，点P在优弧$\overset{\frown}{AmB}$上，故∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=45°。因此tan∠APB=tan45°=1。
5. 已知△ABC中，AD是高，AD=2，DB=2，CD=2$\sqrt{3}$，则∠BAC=()
A.105°
B.15°
C.105°或15°
D.60°
A.105°
B.15°
C.105°或15°
D.60°
答案
C
解析
分两种情况讨论：
1. 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，AD=DB=2，故∠BAD=45°；
在Rt△ACD中，$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故∠CAD=60°；
则$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=45°+60°=105°$。
2. 当高AD在△ABC外部时：
在Rt△ABD中，AD=DB=2，故∠BAD=45°；
在Rt△ACD中，$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}=\sqrt{3}$，故∠CAD=60°；
则$∠ BAC=∠ CAD-∠ BAD=60°-45°=15°$。
综上，∠BAC的度数为105°或15°。
1. 当高AD在△ABC内部时：
在Rt△ABD中，AD=DB=2，故∠BAD=45°；
在Rt△ACD中，$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}=\frac{2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$，故∠CAD=60°；
则$∠ BAC=∠ BAD+∠ CAD=45°+60°=105°$。
2. 当高AD在△ABC外部时：
在Rt△ABD中，AD=DB=2，故∠BAD=45°；
在Rt△ACD中，$\tan∠ CAD=\frac{CD}{AD}=\sqrt{3}$，故∠CAD=60°；
则$∠ BAC=∠ CAD-∠ BAD=60°-45°=15°$。
综上，∠BAC的度数为105°或15°。
6. 在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，AD是中线，则tan∠CDA=()
A.$\sqrt{3}$
B.2$\sqrt{3}$
C.3$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{31}}{3}$
A.$\sqrt{3}$
B.2$\sqrt{3}$
C.3$\sqrt{3}$
D.$\frac{\sqrt{31}}{3}$
答案
B
解析
设$BC = a$，在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$∠ BAC=30°$，则$AB=2BC=2a$。由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2a)^2 - a^2}=\sqrt{3}a$。
因为$AD$是中线，所以$D$为$BC$中点，$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
在$Rt△ ACD$中，$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}=\frac{\sqrt{3}a}{\frac{a}{2}}=2\sqrt{3}$。
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(2a)^2 - a^2}=\sqrt{3}a$。
因为$AD$是中线，所以$D$为$BC$中点，$CD=\frac{1}{2}BC=\frac{a}{2}$。
在$Rt△ ACD$中，$\tan∠ CDA=\frac{AC}{CD}=\frac{\sqrt{3}a}{\frac{a}{2}}=2\sqrt{3}$。
二、填空题
1. $\sqrt{(1 - 3\tan30°)^2}$=.
1. $\sqrt{(1 - 3\tan30°)^2}$=.
答案
解：
$\sqrt{(1 - 3\tan30°)^2}$
$=\sqrt{(1 - 3×\frac{\sqrt{3}}{3})^2}$
$=\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$
$=|1 - \sqrt{3}|$
$=\sqrt{3} - 1$
$\sqrt{(1 - 3\tan30°)^2}$
$=\sqrt{(1 - 3×\frac{\sqrt{3}}{3})^2}$
$=\sqrt{(1 - \sqrt{3})^2}$
$=|1 - \sqrt{3}|$
$=\sqrt{3} - 1$
2. 在△ABC中，CD⊥AB于D，则sin∠ACD=，tan∠BCD=.
答案
$\frac{AD}{AC}$；$\frac{BD}{CD}$
解析
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，根据正弦的定义，$\sin∠ ACD=\frac{对边}{斜边}=\frac{AD}{AC}$；在Rt△BCD中，∠BDC=90°，根据正切的定义，$\tan∠ BCD=\frac{对边}{邻边}=\frac{BD}{CD}$。
3. 在△ABC中，已知∠C=90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，有下列关系式：①b=ccosB；②b=atanB；③a=csinA；④a=btanB. 其中正确的有(填序号).
答案
②③
解析
在Rt△ABC中，∠C=90°，根据锐角三角函数定义逐一分析：
1. 对于①：$\cos B = \frac{a}{c}$，则$c\cos B = a ≠ b$，故①错误；
2. 对于②：$\tan B = \frac{b}{a}$，变形得$b = a\tan B$，故②正确；
3. 对于③：$\sin A = \frac{a}{c}$，变形得$a = c\sin A$，故③正确；
4. 对于④：$\tan B = \frac{b}{a}$，变形得$a = \frac{b}{\tan B} ≠ b\tan B$，故④错误。
综上，正确的是②③。
1. 对于①：$\cos B = \frac{a}{c}$，则$c\cos B = a ≠ b$，故①错误；
2. 对于②：$\tan B = \frac{b}{a}$，变形得$b = a\tan B$，故②正确；
3. 对于③：$\sin A = \frac{a}{c}$，变形得$a = c\sin A$，故③正确；
4. 对于④：$\tan B = \frac{b}{a}$，变形得$a = \frac{b}{\tan B} ≠ b\tan B$，故④错误。
综上，正确的是②③。
4. 在△ABC中，∠C=90°，b=$\sqrt{5}$，三角形的面积为$\frac{5}{2}$，则斜边c=，∠A的度数是.
答案
$\sqrt{10}$；$45°$
解析
1. 求直角边$a$：根据直角三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ab$，代入$S=\frac{5}{2}$，$b=\sqrt{5}$，得$\frac{1}{2} × a × \sqrt{5} = \frac{5}{2}$，解得$a=\sqrt{5}$。
2. 求斜边$c$：由勾股定理$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{5}$，得$c=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{10}$。
3. 求$∠ A$的度数：因为$a=b=\sqrt{5}$，可知$△ ABC$是等腰直角三角形，故$∠ A=45°$（或由$\tan A=\frac{a}{b}=1$，得$∠ A=45°$）。
2. 求斜边$c$：由勾股定理$c=\sqrt{a^2+b^2}$，代入$a=\sqrt{5}$，$b=\sqrt{5}$，得$c=\sqrt{(\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2}=\sqrt{10}$。
3. 求$∠ A$的度数：因为$a=b=\sqrt{5}$，可知$△ ABC$是等腰直角三角形，故$∠ A=45°$（或由$\tan A=\frac{a}{b}=1$，得$∠ A=45°$）。
