8. (★★)(2025·陕西)如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$∠ A = 20^{\circ}$，$CD$为$AB$边上的中线，$DE⊥ AC$，图中与$∠ A$互余的角共有【 】

A.$2$个
B.$3$个
C.$4$个
D.$5$个

C

在$△ABC$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$∠A=20^{\circ}$，则$∠B=90^{\circ}-∠A=70^{\circ}$，故$∠B$与$∠A$互余。
$CD$为$AB$边上的中线，直角三角形斜边上的中线等于斜边一半，故$CD=AD=BD$，则$∠ACD=∠A=20^{\circ}$，$∠BCD=∠ACB - ∠ACD=70^{\circ}$，故$∠BCD$与$∠A$互余。
$DE⊥AC$，则$∠AED=90^{\circ}$，在$Rt△ADE$中，$∠ADE=90^{\circ}-∠A=70^{\circ}$，故$∠ADE$与$∠A$互余。
在$Rt△CDE$中，$∠CDE=90^{\circ}-∠ACD=90^{\circ}-20^{\circ}=70^{\circ}$，故$∠CDE$与$∠A$互余。
综上，与$∠A$互余的角有$∠B$、$∠BCD$、$∠ADE$、$∠CDE$，共4个。

9. (★★)如图，$CD$为$Rt△ ABC$斜边$AB$上的中线，$E$为$AC$的中点。若$AC = 8$，$CD = 5$，则$DE$的长为。

3

在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD$为$AB$边上的中线，所以$AB = 2CD = 10$。
因为$E$为$AC$的中点，所以$DE$是$Rt△ ABC$的中位线（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，且$E$为$AC$中点，$D$为$AB$中点）。
根据勾股定理，在$Rt△ ABC$中，$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
因为$DE$是$△ ABC$的中位线，根据三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半。所以$DE=\dfrac{1}{2}BC = 3$。

10. (★★)如图，在$Rt△ ACB$中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$M$为边$AB$的中点，点$E$在线段$AM$上，$EF⊥ AC$于点$F$，连接$CM$，$CE$。已知$∠ A = 50^{\circ}$，$∠ ACE = 30^{\circ}$。
(1)求证：$CE = CM$；
(2)若$AB = 4$，求线段$FC$的长。

(1)见证明；(2)$\sqrt{3}$。

(1)证明：在$Rt△ ACB$中，$∠ACB=90^{\circ}$，$M$为$AB$中点，$\therefore CM=AM=\frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边中线等于斜边一半），$\therefore ∠MCA=∠A=50^{\circ}$。
$\because ∠ACE=30^{\circ}$，$\therefore ∠ECM=∠MCA - ∠ACE=50^{\circ}-30^{\circ}=20^{\circ}$。
在$△ AMC$中，$∠AMC=180^{\circ}-∠A - ∠MCA=180^{\circ}-50^{\circ}-50^{\circ}=80^{\circ}$，即$∠CME=80^{\circ}$。
在$△ CEM$中，$∠CEM=180^{\circ}-∠ECM - ∠CME=180^{\circ}-20^{\circ}-80^{\circ}=80^{\circ}$，$\therefore ∠CEM=∠CME$，$\therefore CE=CM$。
(2)解：$\because AB=4$，$M$为$AB$中点，$\therefore CM=\frac{1}{2}AB=2$，由(1)知$CE=CM=2$。
$\because EF⊥AC$，$\therefore ∠EFC=90^{\circ}$，在$Rt△ EFC$中，$∠ACE=30^{\circ}$，$\cos∠ACE=\frac{FC}{CE}$，$\therefore FC=CE·\cos30^{\circ}=2×\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}$。

11. (★★)(2025·绥化)一个矩形的一条对角线长为$10$，两条对角线的一个交角为$60^{\circ}$，则这个矩形的面积是【 】

A.$25$
B.$25\sqrt{3}$
C.$25\sqrt{5}$
D.$50\sqrt{3}$

B

设矩形为ABCD，对角线AC、BD交于点O，AC=10，则AO=BO=5。因为∠AOB=60°，所以△AOB是等边三角形，AB=AO=5。在Rt△ABC中，AC=10，AB=5，由勾股定理得BC=√(10²-5²)=5√3。矩形面积=AB×BC=5×5√3=25√3。

12. (★★)如图，在矩形$ABCD$中，$AB = \frac{1}{2}BC$，点$F$在$BC$边的延长线上，$P$是线段$BC$上一点(不与点$B$，$C$重合)，连接$AP$，过点$C$作$CG⊥ AP$，交$AP$的延长线于点$E$。
(1)若$CG$为$∠ DCF$的平分线，请判断$BP$与$CP$的数量关系，并说明理由；
(2)若$AB = 3$，$△ ABP≌△ CEP$，求$BP$的长。

(1) BP=CP；(2) 9/4。

(1) BP=CP。理由如下：
设AB=a，则BC=2a，建立坐标系：B(0,0)，A(0,a)，C(2a,0)，P(p,0)(0＜p＜2a)。
AP斜率：k_AP=(0-a)/(p-0)=-a/p，CG平分∠DCF（∠DCF=90°），故CG斜率为1（向右上方45°）。
∵CE⊥AP，∴k_CE·k_AP=-1，即1·(-a/p)=-1，解得p=a。
∴BP=p=a，CP=2a-p=a，故BP=CP。
(2) 设BP=x，AB=3，则BC=6，CP=6-x。
∵△ABP≌△CEP，∠ABP=∠CEP=90°，∴AP=CP，AB=CE，BP=EP。
AP=√(AB²+BP²)=√(9+x²)，CP=6-x，∴√(9+x²)=6-x。
平方得：9+x²=36-12x+x²，解得x=9/4。
故BP=9/4。