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11. (★)某辆汽车油箱中原有汽油 100 L，汽车每行驶 50 km，耗油 9 L，那么油箱中的剩余油量 $ y $(单位：L)关于汽车行驶路程 $ x $(单位：km)的函数解析式为，$ y $(填“是”或“不是”)$ x $ 的一次函数，$ y $(填“是”或“不是”)$ x $ 的正比例函数。
答案
$y = 100 - \frac{9}{50}x$；是；不是
解析
根据题意，汽车每行驶50km耗油9L，则每千米耗油量为$\frac{9}{50}L$，所以行驶$x$km的耗油量为$\frac{9}{50}x$L。
又因为油箱中原有汽油100L，所以剩余油量$y = 100 - \frac{9}{50}x$。
根据一次函数的定义$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），在$y = 100 - \frac{9}{50}x$中，$k = -\frac{9}{50}$，$b = 100$，所以$y$是$x$的一次函数。
根据正比例函数的定义$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$），由于$y = 100 - \frac{9}{50}x$中$b = 100≠0$，所以$y$不是$x$的正比例函数。
又因为油箱中原有汽油100L，所以剩余油量$y = 100 - \frac{9}{50}x$。
根据一次函数的定义$y=kx+b$（$k$，$b$为常数，$k≠0$），在$y = 100 - \frac{9}{50}x$中，$k = -\frac{9}{50}$，$b = 100$，所以$y$是$x$的一次函数。
根据正比例函数的定义$y = kx$（$k$为常数，$k≠0$），由于$y = 100 - \frac{9}{50}x$中$b = 100≠0$，所以$y$不是$x$的正比例函数。
12. (★)已知 $ y=(m - 3)x^{|m| - 2} + m + n $。
(1)若它是 $ y $ 关于 $ x $ 的一次函数，则 $ m $ 的值为；
(2)若它为 $ y $ 关于 $ x $ 的正比例函数，则 $ m $ 的值为，$ n $ 的值为。
(1)若它是 $ y $ 关于 $ x $ 的一次函数，则 $ m $ 的值为；
(2)若它为 $ y $ 关于 $ x $ 的正比例函数，则 $ m $ 的值为，$ n $ 的值为。
答案
(1) $m = -3$
(2) $m = -3$；$n = 3$
(2) $m = -3$；$n = 3$
解析
(1) 依题意，要使 $y=(m - 3)x^{|m| - 2} + m + n$ 是 $y$ 关于 $x$ 的一次函数，需要满足：
$|m| - 2 = 1$，
$m - 3 ≠ 0$，
从 $|m| - 2 = 1$ 可得 $|m| = 3$，即 $m = 3$ 或 $m = -3$。
但 $m - 3 ≠ 0$ 排除了 $m = 3$ 这一解，所以 $m = -3$。
(2) 依题意，要使 $y=(m - 3)x^{|m| - 2} + m + n$ 是 $y$ 关于 $x$ 的正比例函数，需要满足：
$|m| - 2 = 1$，
$m - 3 ≠ 0$，
$m + n = 0$，
同样，从 $|m| - 2 = 1$ 可得 $|m| = 3$，即 $m = 3$ 或 $m = -3$。
但 $m - 3 ≠ 0$ 排除了 $m = 3$ 这一解，所以 $m = -3$。
将 $m = -3$ 代入 $m + n = 0$，可得 $n = 3$。
$|m| - 2 = 1$，
$m - 3 ≠ 0$，
从 $|m| - 2 = 1$ 可得 $|m| = 3$，即 $m = 3$ 或 $m = -3$。
但 $m - 3 ≠ 0$ 排除了 $m = 3$ 这一解，所以 $m = -3$。
(2) 依题意，要使 $y=(m - 3)x^{|m| - 2} + m + n$ 是 $y$ 关于 $x$ 的正比例函数，需要满足：
$|m| - 2 = 1$，
$m - 3 ≠ 0$，
$m + n = 0$，
同样，从 $|m| - 2 = 1$ 可得 $|m| = 3$，即 $m = 3$ 或 $m = -3$。
但 $m - 3 ≠ 0$ 排除了 $m = 3$ 这一解，所以 $m = -3$。
将 $m = -3$ 代入 $m + n = 0$，可得 $n = 3$。
13. (★)关于一次函数 $ y = - 2x + 3 $，下列结论正确的是【】
A.图象过点 $ (1, - 1) $
B.其图象可由 $ y = - 2x $ 的图象向上平移 3 个单位长度得到
C.$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.图象经过第一、二、三象限
A.图象过点 $ (1, - 1) $
B.其图象可由 $ y = - 2x $ 的图象向上平移 3 个单位长度得到
C.$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大
D.图象经过第一、二、三象限
答案
B
解析
A. 将 $x = 1$ 代入 $y = -2x + 3$，得 $y = -2 × 1 + 3 = 1 ≠ -1$，所以图象不过点 $(1, -1)$，故 A 错误；
B. 函数 $y = -2x + 3$ 可以看作是由 $y = -2x$ 向上平移 3 个单位得到，符合平移规律，故 B 正确；
C. 由于一次函数的斜率 $k = -2 ＜ 0$，所以 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，故 C 错误；
D. 由于斜率 $k = -2 ＜ 0$，截距 $b = 3 ＞ 0$，所以图象只能经过第一、二、四象限，不能经过第三象限，故 D 错误。
B. 函数 $y = -2x + 3$ 可以看作是由 $y = -2x$ 向上平移 3 个单位得到，符合平移规律，故 B 正确；
C. 由于一次函数的斜率 $k = -2 ＜ 0$，所以 $y$ 随 $x$ 的增大而减小，故 C 错误；
D. 由于斜率 $k = -2 ＜ 0$，截距 $b = 3 ＞ 0$，所以图象只能经过第一、二、四象限，不能经过第三象限，故 D 错误。
14. (★★)将直线 $ y = 2x - 6 $ 向右平移 3 个单位长度后，所得直线经过点 $ (m, 8) $，则 $ m $ 的值为。
答案
10
解析
将直线 $ y = 2x - 6 $ 向右平移 3 个单位长度，相当于将 $ x $ 替换为 $ x - 3 $，得到新的直线方程：
$ y = 2(x - 3) - 6 $，
化简得：
$ y = 2x - 12 $。
因为新的直线经过点 $ (m, 8) $，将点代入方程得：
$ 8 = 2m - 12 $，
解得：
$ m = 10 $。
$ y = 2(x - 3) - 6 $，
化简得：
$ y = 2x - 12 $。
因为新的直线经过点 $ (m, 8) $，将点代入方程得：
$ 8 = 2m - 12 $，
解得：
$ m = 10 $。
15. (★★)已知一次函数 $ y = kx + b $（$ k $，$ b $ 为常数，且 $ k ＜ 0 $）的图象经过点 $ (1, 1) $。当 $ - 3 ≤ x ≤ 2 $ 时，该一次函数的最小值为 0，求 $ k $ 的值。
答案
答题卡填写作答如下：
由于函数图像经过点 $(1, 1)$，代入 $y = kx + b$ 可得：
$1 = k · 1 + b$，
即，$b = 1 - k$。
因此，函数可以表示为：
$y = kx + (1 - k)$。
由于 $k ＜ 0$，函数为单调递减，
所以在区间 $[-3, 2]$ 上，当 $x = 2$ 时，$y$ 取到最小值 $0，（当x取最大值时y最小）$
即，$y = 2k + 1 - k = 0$。
化简得：
$k + 1 = 0$，
解得：
$k = -1$。
所以 $k$ 的值为 $-1$。
由于函数图像经过点 $(1, 1)$，代入 $y = kx + b$ 可得：
$1 = k · 1 + b$，
即，$b = 1 - k$。
因此，函数可以表示为：
$y = kx + (1 - k)$。
由于 $k ＜ 0$，函数为单调递减，
所以在区间 $[-3, 2]$ 上，当 $x = 2$ 时，$y$ 取到最小值 $0，（当x取最大值时y最小）$
即，$y = 2k + 1 - k = 0$。
化简得：
$k + 1 = 0$，
解得：
$k = -1$。
所以 $k$ 的值为 $-1$。
16. (★★★)已知 $ y $ 关于 $ x $ 的一次函数 $ y = kx - 3k + 1 $ 的图象为直线 $ l $。
(1)求证：无论 $ k $ 为何值，直线 $ l $ 总经过点 $ (3, 1) $；
(2)当 $ m ≤ x ≤ m + 3 $ 时，函数最大值与最小值的差为 6，求直线 $ l $ 的函数解析式。
(1)求证：无论 $ k $ 为何值，直线 $ l $ 总经过点 $ (3, 1) $；
(2)当 $ m ≤ x ≤ m + 3 $ 时，函数最大值与最小值的差为 6，求直线 $ l $ 的函数解析式。
答案
(1)证明：$y=kx-3k+1=k(x-3)+1$，令$x-3=0$，则$x=3$，此时$y=1$，故无论$k$为何值，直线$l$总经过点$(3,1)$。
(2)当$k=0$时，$y=1$，最大值与最小值差为$0$，不符合题意。
当$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大，在$m≤ x≤ m+3$上，$x=m+3$时$y$最大，$x=m$时$y$最小。
最大值：$k(m+3)-3k+1=km+1$，最小值：$km-3k+1$，差为$(km+1)-(km-3k+1)=3k=6$，解得$k=2$，解析式为$y=2x-5$。
当$k＜0$时，$y$随$x$增大而减小，在$m≤ x≤ m+3$上，$x=m$时$y$最大，$x=m+3$时$y$最小。
最大值：$km-3k+1$，最小值：$km+1$，差为$(km-3k+1)-(km+1)=-3k=6$，解得$k=-2$，解析式为$y=-2x+7$。
综上，直线$l$的函数解析式为$y=2x-5$或$y=-2x+7$。
(2)当$k=0$时，$y=1$，最大值与最小值差为$0$，不符合题意。
当$k＞0$时，$y$随$x$增大而增大，在$m≤ x≤ m+3$上，$x=m+3$时$y$最大，$x=m$时$y$最小。
最大值：$k(m+3)-3k+1=km+1$，最小值：$km-3k+1$，差为$(km+1)-(km-3k+1)=3k=6$，解得$k=2$，解析式为$y=2x-5$。
当$k＜0$时，$y$随$x$增大而减小，在$m≤ x≤ m+3$上，$x=m$时$y$最大，$x=m+3$时$y$最小。
最大值：$km-3k+1$，最小值：$km+1$，差为$(km-3k+1)-(km+1)=-3k=6$，解得$k=-2$，解析式为$y=-2x+7$。
综上，直线$l$的函数解析式为$y=2x-5$或$y=-2x+7$。
