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9. (★★) 在一次活动课中，嘉琪同学用一根绳子围成一个长、宽之比为 3:1，面积为 $ 48 \mathrm{ cm}^2 $ 的长方形.
(1) 求长方形的长和宽.
(2) 她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于 3 cm.” 请你判断她的说法是否正确，并说明理由.
(1) 求长方形的长和宽.
(2) 她用另一根绳子围成一个正方形，且正方形的面积等于原来围成的长方形面积，她说：“围成的正方形的边长与原来长方形的宽之差大于 3 cm.” 请你判断她的说法是否正确，并说明理由.
答案
(1)设长方形的宽为$x$cm，则长为$3x$cm，由题意得：$3x · x = 48$，即$3x^2 = 48$，$x^2 = 16$，解得$x = 4$（$x=-4$舍去），则长为$3x = 12$cm。所以长方形的长为12cm，宽为4cm。
(2)正方形面积为48cm²，设正方形边长为$a$cm，则$a^2 = 48$，$a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.928$cm。正方形边长与长方形宽之差为$4\sqrt{3} - 4 \approx 6.928 - 4 = 2.928$cm，因为$2.928 ＜ 3$，所以她的说法不正确。
(2)正方形面积为48cm²，设正方形边长为$a$cm，则$a^2 = 48$，$a = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \approx 6.928$cm。正方形边长与长方形宽之差为$4\sqrt{3} - 4 \approx 6.928 - 4 = 2.928$cm，因为$2.928 ＜ 3$，所以她的说法不正确。
10. (★) (2024·广东) 完全相同的 4 个正方形面积之和是 100，则正方形的边长是【 】
A.2
B.5
C.10
D.20
A.2
B.5
C.10
D.20
答案
B
解析
设每个正方形的边长为$x$，则每个正方形的面积为$x^2$。
根据题意，4个正方形的面积之和为100，可得方程：
$4x^2 = 100$，
两边同时除以4：
$x^2 = 25$，
取正数解（边长为正数）：
$x = 5$。
根据题意，4个正方形的面积之和为100，可得方程：
$4x^2 = 100$，
两边同时除以4：
$x^2 = 25$，
取正数解（边长为正数）：
$x = 5$。
11. (★) $(-3)^{2}$ 的算术平方根是 .
答案
首先，计算$(-3)^{2}$的值：
$(-3)^{2} = 9$
接着，根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是它的非负平方根。
因此，9的算术平方根是3。
所以，$(-3)^{2}$的算术平方根是3。
答案填入答题卡为：3。
$(-3)^{2} = 9$
接着，根据算术平方根的定义，一个非负数的算术平方根是它的非负平方根。
因此，9的算术平方根是3。
所以，$(-3)^{2}$的算术平方根是3。
答案填入答题卡为：3。
12. (★) 已知 $\sqrt{a} = 5$，则 $ a $ 的值为 .
答案
根据平方根的定义，若 $\sqrt{a} = 5$，则 $a$ 是 5 的平方。
计算得：
$a = 5^2 = 25$
故答案为：$25$。
计算得：
$a = 5^2 = 25$
故答案为：$25$。
13. (★★) 已知 $ 2a + 1 $ 的算术平方根是 3，则 $ a $ 的平方根是 .
答案
因为$2a + 1$的算术平方根是$3$，根据算术平方根的定义，有：
$\sqrt{2a + 1} = 3$，
对方程两边同时平方，得到：
$2a + 1 = 3^2$，
$2a + 1 = 9$，
解这个一元一次方程，得到：
$2a = 8 \quad ⇒ \quad a = 4$，
最后，求$a$的平方根，即：
$\pm \sqrt{a} = \pm \sqrt{4} = \pm 2$，
故$a$的平方根是$\pm 2$。
$\sqrt{2a + 1} = 3$，
对方程两边同时平方，得到：
$2a + 1 = 3^2$，
$2a + 1 = 9$，
解这个一元一次方程，得到：
$2a = 8 \quad ⇒ \quad a = 4$，
最后，求$a$的平方根，即：
$\pm \sqrt{a} = \pm \sqrt{4} = \pm 2$，
故$a$的平方根是$\pm 2$。
14. (★★) 已知一个长方形的面积为 $ 10 \mathrm{ cm}^2 $，它的长与宽的比为 5:1，则它的宽为 cm.
答案
设长方形的宽为 $x$ cm，则根据长与宽的比为 5:1，长为 $5x$ cm。
根据长方形面积公式：面积 = 长 $×$ 宽，
代入已知条件，得：
$x × 5x = 10$
$5x^{2} = 10$
$x^{2} = 2$
由于 $x$ 为宽度，必须为正数，因此：
$x = \sqrt{2}\mathrm{(负值舍去,因为宽度不能为负)}$
或写成$x=\sqrt{2} \mathrm{cm}$。
故答案为：$\sqrt{2}$ 。
根据长方形面积公式：面积 = 长 $×$ 宽，
代入已知条件，得：
$x × 5x = 10$
$5x^{2} = 10$
$x^{2} = 2$
由于 $x$ 为宽度，必须为正数，因此：
$x = \sqrt{2}\mathrm{(负值舍去,因为宽度不能为负)}$
或写成$x=\sqrt{2} \mathrm{cm}$。
故答案为：$\sqrt{2}$ 。
15. (★★) 已知 $ |a + 2| + \sqrt{b - 6} = 0 $，则 $ a + b $ 的算术平方根是 .
答案
因为$|a + 2| ≥ 0$，$\sqrt{b - 6} ≥ 0$，且$|a + 2| + \sqrt{b - 6} = 0$，所以$|a + 2| = 0$，$\sqrt{b - 6} = 0$。
由$|a + 2| = 0$得$a + 2 = 0$，解得$a = -2$。
由$\sqrt{b - 6} = 0$得$b - 6 = 0$，解得$b = 6$。
所以$a + b = -2 + 6 = 4$。
因为$4$的算术平方根是$2$，所以$a + b$的算术平方根是$2$。
$2$
由$|a + 2| = 0$得$a + 2 = 0$，解得$a = -2$。
由$\sqrt{b - 6} = 0$得$b - 6 = 0$，解得$b = 6$。
所以$a + b = -2 + 6 = 4$。
因为$4$的算术平方根是$2$，所以$a + b$的算术平方根是$2$。
$2$
16. (★★) 求下列各式的值：
(1) $\sqrt{64}$；
(2) $-\sqrt{0.36}$；
(3) ±$\sqrt{\frac{81}{16}}$；
(4) $\sqrt{2.25}$；
(5) $\sqrt{\frac{17}{16}-1}$；
(6) $ 6 - \sqrt{(-5)^{2}} $.
(1) $\sqrt{64}$；
(2) $-\sqrt{0.36}$；
(3) ±$\sqrt{\frac{81}{16}}$；
(4) $\sqrt{2.25}$；
(5) $\sqrt{\frac{17}{16}-1}$；
(6) $ 6 - \sqrt{(-5)^{2}} $.
答案
(1)
解：
根据平方根的定义，若一个数的平方等于$a$，则这个数被称为$a$的平方根。
因为$8^2 = 64$，
所以$\sqrt{64} = 8$。
(2)
解：
根据平方根的定义，
因为$0.6^2 = 0.36$，
所以$\sqrt{0.36} = 0.6$，
再取其相反数，得$-\sqrt{0.36} = -0.6$。
(3)
解：
根据平方根的定义，
因为$(\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16}$，
所以$\pm \sqrt{\frac{81}{16}} = \pm \frac{9}{4}$。
(4)
解：
根据平方根的定义，
因为$1.5^2 = 2.25$，
所以$\sqrt{2.25} = 1.5$。
(5)
解：
首先计算括号内的值，
$\frac{17}{16} - 1 = \frac{17}{16} - \frac{16}{16} = \frac{1}{16}$
再根据平方根的定义，
因为$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$，
所以$\sqrt{\frac{17}{16} - 1} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$。
(6)
解：
首先计算括号内的平方，
$(-5)^2 = 25$
再根据平方根的定义，
因为$5^2 = 25$，
所以$\sqrt{(-5)^2} = 5$，
最后进行减法运算，
$6 - \sqrt{(-5)^2} = 6 - 5 = 1$。
解：
根据平方根的定义，若一个数的平方等于$a$，则这个数被称为$a$的平方根。
因为$8^2 = 64$，
所以$\sqrt{64} = 8$。
(2)
解：
根据平方根的定义，
因为$0.6^2 = 0.36$，
所以$\sqrt{0.36} = 0.6$，
再取其相反数，得$-\sqrt{0.36} = -0.6$。
(3)
解：
根据平方根的定义，
因为$(\frac{9}{4})^2 = \frac{81}{16}$，
所以$\pm \sqrt{\frac{81}{16}} = \pm \frac{9}{4}$。
(4)
解：
根据平方根的定义，
因为$1.5^2 = 2.25$，
所以$\sqrt{2.25} = 1.5$。
(5)
解：
首先计算括号内的值，
$\frac{17}{16} - 1 = \frac{17}{16} - \frac{16}{16} = \frac{1}{16}$
再根据平方根的定义，
因为$(\frac{1}{4})^2 = \frac{1}{16}$，
所以$\sqrt{\frac{17}{16} - 1} = \sqrt{\frac{1}{16}} = \frac{1}{4}$。
(6)
解：
首先计算括号内的平方，
$(-5)^2 = 25$
再根据平方根的定义，
因为$5^2 = 25$，
所以$\sqrt{(-5)^2} = 5$，
最后进行减法运算，
$6 - \sqrt{(-5)^2} = 6 - 5 = 1$。
