7. 如图,王军同学晚上步行回家,由路灯$AM$走向路灯$BN$.当他走到点$P$时,发现身后的影子顶部刚好接触到路灯$AM$的底部$M$;当他向前再步行$12\ \mathrm{m}$到达点$Q$时,发现身前的影子顶部刚好接触到路灯$BN$的底部$N$.已知王军的身高是$1.6\ \mathrm{m}$,路灯$AM$的高度是$9.6\ \mathrm{m}$,且$MP = NQ = x\ \mathrm{m}$.
(1) 求证:$AM = BN$.
(2) 求两个路灯之间的距离.
(3) 当王军走到路灯$BN$时,他在路灯$AM$下的影长是多少?
(第7题)

证明​​​​：(1)​​​​由题意得​​​​，CP=DQ，AM⊥MN，BN⊥MN，​​​​
​​​​CP⊥MN，DQ⊥MN​​​​
在​​​​△MPC​​​​和​​​​△NQD​​​​中，
$​​​​\begin{cases}{CP=DQ }\\{∠MPC=∠NQD=90°}\\{MP=NQ} \end{cases}​​​​$
所以$​​​​△MPC≌△NQD(\mathrm {SAS})​​​​$
所以​​​​∠ANM=∠BMN​​​​
在​​​​△ANM​​​​和​​​​△BMN​​​​中
$​​​​\begin{cases}{∠ANM=∠BMN }\\{MN=MN}\\{∠AMN=∠BNM} \end{cases}​​​​$
所以$​​​​△ANM≌△BMN(\mathrm {ASA})​​​​$
所以​​​​AM= BN​​​​
​​​​(2)​​​​由题意得，​​​​CP=DQ=1.6m ， AM=BN=9.6m ， PQ=12m​​​​
因为​​​​CP//BN，​​​​
所以​​​​△MPC∽△MNB​​​​
所以$​​​​\frac {MP}{MN}=\frac {CP}{BN}​​​​$
因为​​​​MP=xm，​​​​​​​​CP=1.6m，​​​​​​​​BN=9.6m​​​​
所以​​​​MN=6xm​​​​
因为​​​​PQ= MN-MP-NQ=12m​​​​
所以​​​​6x- x- x= 12​​​​
解得，​​​​x=3​​​​
答:两个路灯之间的距离​​​​MN= 18m​​​​
​​​​(3)​​​​设他在路灯​​​​AM​​​​下的影长是​​​​ym​​​​
由题意得​​​​，$\frac {y}{1.6}=\frac {18+y}{9.6}​​​​$
解得​​​​，y=3.6​​​​
答:他在路灯​​​​AM​​​​下的影长是​​​​3.6m​​​
​

例1 如图6.7.3，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AC = 8\mathrm{cm}$，$BC = 6\mathrm{cm}$，一动点$P$从点$B$出发，沿$BC$方向以$1\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向点$C$移动，与此同时，另一动点$Q$从点$C$出发，沿$CA$方向以$2\mathrm{cm}/\mathrm{s}$的速度向点$A$移动。当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动。点$P$、$Q$移动多长时间时，以$C$、$P$、$Q$为顶点的三角形与$\triangle CAB$相似？

​​​​解：设P、Q开始移动ts后，△CPQ与△CAB相似​​​​
​​​​①当△CPQ∽△CAB时，有$\frac {CP}{CA}=\frac {CQ}{CB}​​​​$
​​​​所以$\frac {6-t}{8}=\frac {2t}{6}​​​​$
​​​​解得，$t=\frac {18}{11}​​​​$
​​​​②当△CPQ∽△CBA时，有$\frac {CP}{CB}=\frac {CQ}{CA}​​​​$
​​​​所以$\frac {6-t}{6}=\frac {2t}{8}​​​​$
​​​​解得，$t=\frac {12}{5}​​​​$
​​​​综上所述，当P、Q开始移动$\frac {18}{11}$秒或$\frac {12}{5}$秒后， △CPQ与△CAB相似。​​​​