登录
1. 填空。
(1) 在自然数 $ 1 ∼ 20 $ 中，有（）个素数，其中最大的是（）；有（）个合数，其中最小的是（）；（）既不是素数，也不是合数。
(1) 在自然数 $ 1 ∼ 20 $ 中，有（）个素数，其中最大的是（）；有（）个合数，其中最小的是（）；（）既不是素数，也不是合数。
答案
(1)8；19；11；4；1
解析
素数定义为只有 1 和本身两个因数的自然数，在$1～20$中，依次判断每个数是否为素数，可得素数有$2$、$3$、$5$、$7$、$11$、$13$、$17$、$19$，共$8$个，其中最大的是$19$；合数是除了$1$和本身还有其他因数的自然数，$1～20$中合数有$4$、$6$、$8$、$9$、$10$、$12$、$14$、$15$、$16$、$18$、$20$，共$11$个，最小的是$4$；$1$既不是素数也不是合数。
(2) $ 2 $ 个自然数相邻，且都是素数，只能是（）和（）。$ 2 $ 个自然数相邻，且都是合数，可能是（）和（）。
答案
2和3；8和9（答案不唯一（填写顺序为第一空2，第二空3，第三空8，第四空9等合理相邻合数即可））
解析
相邻的自然数相差1，在自然数中，除了2以外的偶数都是合数，根据素数与合数的定义，两个相邻自然数都是素数的情况只有2和3满足；两个相邻自然数都是合数的情况，可以从较小的数开始尝试，如8和9，8的因数有1、2、4、8，9的因数有1、3、9，所以8和9都是合数。
(3) 按要求在下面的 $ □ $ 里填上合适的数字。
① 能被 $ 3 $ 整除。
$ 123 □ $ $ 13 □ 2 $ $ 14 □ 2 $ $ □ □ 34 $
② 既能被 $ 2 $ 整除，又能被 $ 3 $ 整除。
$ 123 □ $ $ 133 □ $ $ 17 □ □ $ $ 70 □ □ $
③ 能同时被 $ 2,3,5 $ 整除。
$ 123 □ $ $ □ 67 □ $ $ 8 □ □ 8 □ $
① 能被 $ 3 $ 整除。
$ 123 □ $ $ 13 □ 2 $ $ 14 □ 2 $ $ □ □ 34 $
② 既能被 $ 2 $ 整除，又能被 $ 3 $ 整除。
$ 123 □ $ $ 133 □ $ $ 17 □ □ $ $ 70 □ □ $
③ 能同时被 $ 2,3,5 $ 整除。
$ 123 □ $ $ □ 67 □ $ $ 8 □ □ 8 □ $
答案
①0；0；2；1,1 ②0；2；1,0；2,0 ③0；2,0；0,2,0
解析
①能被3整除的数，各位数字之和是3的倍数。
123□：1+2+3=6，□可填0（6+0=6）；
13□2：1+3+2=6，□可填0（6+0=6）；
14□2：1+4+2=7，□可填2（7+2=9）；
□□34：1+1+3+4=9，填1、1。
②既能被2整除（个位0,2,4,6,8）又能被3整除（数字和是3的倍数）。
123□：个位偶数且6+□是3的倍数，填0；
133□：1+3+3=7，个位偶数且7+□是3的倍数，填2；
17□□：个位偶数，1+7=8，8+1+0=9，填1、0；
70□□：个位偶数，7+0=7，7+2+0=9，填2、0。
③同时被2、3、5整除（个位0，数字和是3的倍数）。
123□：个位0，1+2+3+0=6，填0；
□67□：个位0，□+6+7+0=□+13是3的倍数，填2、0；
8□□8□：个位0，8+□+□+8+0=16+□+□是3的倍数，填0、2、0。
123□：1+2+3=6，□可填0（6+0=6）；
13□2：1+3+2=6，□可填0（6+0=6）；
14□2：1+4+2=7，□可填2（7+2=9）；
□□34：1+1+3+4=9，填1、1。
②既能被2整除（个位0,2,4,6,8）又能被3整除（数字和是3的倍数）。
123□：个位偶数且6+□是3的倍数，填0；
133□：1+3+3=7，个位偶数且7+□是3的倍数，填2；
17□□：个位偶数，1+7=8，8+1+0=9，填1、0；
70□□：个位偶数，7+0=7，7+2+0=9，填2、0。
③同时被2、3、5整除（个位0，数字和是3的倍数）。
123□：个位0，1+2+3+0=6，填0；
□67□：个位0，□+6+7+0=□+13是3的倍数，填2、0；
8□□8□：个位0，8+□+□+8+0=16+□+□是3的倍数，填0、2、0。
(4) $ a,b $ 都是自然数。若有 $ b = 3a $，则 $ b $ 一定是 $ a $ 的()数；当 $ a ＞ 1 $ 时，$ ab $ 一定是()数。
答案
倍；合。
解析
如果 $ b = 3a $，那么 $ b $ 可以被 $ a $ 整除，因为 $ b ÷ a = 3 $，商是自然数且无余数，所以 $ b $ 是 $ a $ 的倍数；
当 $ a ＞ 1 $ 时，$ b = 3a $，则$ab=a×3a=3a^2$，
因为$a$是自然数，所以$a^ 2$也是自然数，
那么$3a^2$一定含有因数$3$和$a$，且$a＞1$，
即$ab$有多个因数，所以$ab$一定是合数。
当 $ a ＞ 1 $ 时，$ b = 3a $，则$ab=a×3a=3a^2$，
因为$a$是自然数，所以$a^ 2$也是自然数，
那么$3a^2$一定含有因数$3$和$a$，且$a＞1$，
即$ab$有多个因数，所以$ab$一定是合数。
2. 在 $ □ $ 里填数。
$ 18 = □ × □ $ $ 80 = □ × □ $ $ 91 = □ × □ $
$ = □ × □ $ $ = □ × □ $ $ = □ × □ $
$ = □ × □ $ $ = □ × □ $
$ 18 = □ × □ $ $ 80 = □ × □ $ $ 91 = □ × □ $
$ = □ × □ $ $ = □ × □ $ $ = □ × □ $
$ = □ × □ $ $ = □ × □ $
答案
18=1×18
=2×9
=3×6
80=1×80
=2×40
=4×20
91=1×91
=7×13
=2×9
=3×6
80=1×80
=2×40
=4×20
91=1×91
=7×13
3. 有 $ 120 $ 个苹果，平均分成若干堆，每堆不得少于 $ 10 $ 个，也不得多于 $ 40 $ 个，共有哪几种分法？填表。
答案
设每堆个数为 $x$，堆数为 $y$，则：
$x × y = 120$，
且 $10 ≤ x ≤ 40$，
找出所有满足条件的 $x$ 和 $y$：
当 $x = 10$ 时，$y = \frac{120}{10} = 12$，
当 $x = 12$ 时，$y = \frac{120}{12} = 10$，
当 $x = 15$ 时，$y = \frac{120}{15} = 8$，
当 $x = 20$ 时，$y = \frac{120}{20} = 6$，
当 $x = 24$ 时，$y = \frac{120}{24} = 5$，
当 $x = 30$ 时，$y = \frac{120}{30} = 4$，
当 $x = 40$ 时，$y = \frac{120}{40} = 3$，
填表如下：
| 每堆个数 | 10 | 12 | 15 | 20 | 24 | 30 | 40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 堆数 | 12 | 10 | 8 | 6 | 5 | 4 | 3 |
$x × y = 120$，
且 $10 ≤ x ≤ 40$，
找出所有满足条件的 $x$ 和 $y$：
当 $x = 10$ 时，$y = \frac{120}{10} = 12$，
当 $x = 12$ 时，$y = \frac{120}{12} = 10$，
当 $x = 15$ 时，$y = \frac{120}{15} = 8$，
当 $x = 20$ 时，$y = \frac{120}{20} = 6$，
当 $x = 24$ 时，$y = \frac{120}{24} = 5$，
当 $x = 30$ 时，$y = \frac{120}{30} = 4$，
当 $x = 40$ 时，$y = \frac{120}{40} = 3$，
填表如下：
| 每堆个数 | 10 | 12 | 15 | 20 | 24 | 30 | 40 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 堆数 | 12 | 10 | 8 | 6 | 5 | 4 | 3 |
